Ejercicio resuelto de Matrices · Matemáticas II · Navarra · 2026

Calcule los valores posibles de $r$ y $t$ para que $\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }+\mathrm{\mid }B\mathrm{\mid }=4$, sabiendo que:

$A=\left(\begin{array}{ccc}t& t& t\\ t& 3+t& -3+t\\ 2& -1& 5\end{array}\right)$ ; $B=\left(\begin{array}{ccc}1+r& r& 3r\\ 2& -1& 1\\ r& r& 3r\end{array}\right)$

Calculamos por separado los dos determinantes.

En $\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }$ la primera fila es $t(1,1,1)$, de modo que sacamos $t$ como factor común de esa fila:

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=\mid \begin{array}{ccc}t& t& t\\ t& 3+t& -3+t\\ 2& -1& 5\end{array}\mid =t\mid \begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ t& 3+t& -3+t\\ 2& -1& 5\end{array}\mid$

Restando a la segunda fila la primera multiplicada por $t$, operación que no altera el valor del determinante,

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=t\mid \begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 0& 3& -3\\ 2& -1& 5\end{array}\mid =t(15-6+0-6-0-3)=t\cdot 0=0$

Es decir, $\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=0$ sea cual sea el valor de $t$: la tercera columna de la matriz que queda es la primera menos dos veces la segunda.

En $\mathrm{\mid }B\mathrm{\mid }$ restamos la tercera fila a la primera, que tampoco altera el determinante:

$\mathrm{\mid }B\mathrm{\mid }=\mid \begin{array}{ccc}1+r& r& 3r\\ 2& -1& 1\\ r& r& 3r\end{array}\mid =\mid \begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 2& -1& 1\\ r& r& 3r\end{array}\mid$

y desarrollamos por la primera fila:

$\mathrm{\mid }B\mathrm{\mid }=1\cdot \mid \begin{array}{cc}-1& 1\\ r& 3r\end{array}\mid =-3r-r=-4r$

Imponemos ahora la condición del enunciado:

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }+\mathrm{\mid }B\mathrm{\mid }=4\Rightarrow 0-4r=4\Rightarrow r=-1$

El determinante de $A$ es nulo cualquiera que sea $t$, así que la condición solo afecta a $r$: se cumple para $r=-1$ y para cualquier valor real de $t$.