Ejercicio resuelto de Matrices · Matemáticas II · Navarra · 2024

Sean $A$, $P$ y $Q$ tres matrices cuadradas regulares tales que $Q\cdot A\cdot P=I$, donde $I$ es la matriz identidad de la misma dimensión.

a) Demuestre que $A\cdot P\cdot Q\cdot A=Q^{-1}\cdot P^{-1}$ [1,5 puntos]

b) Calcule la matriz $A$ para el caso en que $P$ y $Q$ sean las siguientes:

$P=\left(\begin{array}{cc}-1& 1\\ 2& -1\end{array}\right)$ y $Q=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 1& 2\end{array}\right)$ [1 punto]

Las tres matrices son regulares, de modo que $P^{-1}$ y $Q^{-1}$ existen. Partimos de la relación del enunciado y despejamos de dos maneras distintas.

Multiplicando $Q\cdot A\cdot P=I$ por la izquierda por $Q^{-1}$:

$Q^{-1}QAP=Q^{-1}I\Rightarrow A\cdot P=Q^{-1}$

Multiplicando ahora la misma igualdad por la derecha por $P^{-1}$:

$QAP{P}^{-1}=I{P}^{-1}\Rightarrow Q\cdot A=P^{-1}$

Basta agrupar el producto pedido asociando de dos en dos, cosa lícita porque el producto de matrices es asociativo:

$A\cdot P\cdot Q\cdot A=(A\cdot P)\cdot (Q\cdot A)=Q^{-1}\cdot P^{-1}$

que es lo que se quería demostrar.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{matriz}}\mathit{A}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{caso}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{que}}\mathit{P}\mathbf{\text{y}}\mathit{Q}\mathbf{\text{sean}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{siguientes:}}$

De $A\cdot P=Q^{-1}$, multiplicando por la derecha por $P^{-1}$, se obtiene la matriz buscada:

$A=Q^{-1}\cdot P^{-1}$

Calculamos las dos inversas. Para $P$:

$\mathrm{\mid }P\mathrm{\mid }=\mid \begin{array}{cc}-1& 1\\ 2& -1\end{array}\mid =1-2=-1\mathrm{\ne }0\Rightarrow P^{-1}={\displaystyle \frac{1}{-1}}\left(\begin{array}{cc}-1& -1\\ -2& -1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 2& 1\end{array}\right)$

Para $Q$:

$\mathrm{\mid }Q\mathrm{\mid }=\mid \begin{array}{cc}1& 0\\ 1& 2\end{array}\mid =2\mathrm{\ne }0\Rightarrow Q^{-1}={\displaystyle \frac{1}{2}}\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ -1& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ -\frac{1}{2}& \frac{1}{2}\end{array}\right)$

Multiplicamos:

$A=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ -\frac{1}{2}& \frac{1}{2}\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 2& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ -\frac{1}{2}+1& -\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ \frac{1}{2}& 0\end{array}\right)$

Se comprueba que cumple la condición del enunciado:

$Q\cdot A\cdot P=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 1& 2\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ \frac{1}{2}& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}-1& 1\\ 2& -1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)=I$

La matriz pedida es $A=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ \frac{1}{2}& 0\end{array}\right)$.