Ejercicio resuelto de Matrices · Matemáticas II · Navarra · 2022

Calcule los valores de $t$ para los que la matriz $A^{26}+A^{25}$ es matriz singular, siendo

$A=\left(\begin{array}{cc}0& -1\\ 1& t-1\end{array}\right)$ [2,5 puntos]

Una matriz es singular cuando su determinante es cero, así que hay que estudiar $\mid A^{26}+A^{25}\mid$. Calcular las potencias sería un despropósito: basta sacar factor común, cosa lícita porque $A$ conmuta consigo misma y con la identidad.

$A^{26}+A^{25}=A^{25}\cdot A+A^{25}\cdot I=A^{25}(A+I)$

Aplicando que el determinante de un producto es el producto de determinantes,

$\mid A^{26}+A^{25}\mid =\mid A^{25}\mid \cdot \mathrm{\mid }A+I\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }A{\mathrm{\mid }}^{25}\cdot \mathrm{\mid }A+I\mathrm{\mid }$

Calculamos los dos factores.

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=\mid \begin{array}{cc}0& -1\\ 1& t-1\end{array}\mid =0\cdot (t-1)-(-1)\cdot 1=1$

El determinante de $A$ vale 1 sea cual sea $t$, así que $\mathrm{\mid }A{\mathrm{\mid }}^{25}=1$ y nunca se anula.

$A+I=\left(\begin{array}{cc}0& -1\\ 1& t-1\end{array}\right)+\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& -1\\ 1& t\end{array}\right)$

$\mathrm{\mid }A+I\mathrm{\mid }=t+1$

Por tanto,

$\mid A^{26}+A^{25}\mid =1\cdot (t+1)=t+1$

$t+1=0\Rightarrow t=-1$

La matriz $A^{26}+A^{25}$ es singular únicamente para $t=-1$.