Ejercicio resuelto de Matrices · Matemáticas II · Navarra · 2021

Calcule los valores de $t$ para que se cumpla $\mathrm{\mid }A\cdot B^{-1}\mathrm{\mid }=1$, siendo $A$ y $B$ las siguientes matrices:

$A=\left(\begin{array}{ccc}1& t& -t\\ 2t-1& t-1& t\\ t-2& 0& t-2\end{array}\right)$ y $B=\left(\begin{array}{ccc}t-1& t& -t\\ 1-2t& 2t& -1\\ 0& -1& 1\end{array}\right)$ [2,5 puntos]

El determinante de un producto es el producto de los determinantes, y el de la inversa el inverso, siempre que esta exista:

$\mid A\cdot B^{-1}\mid ={\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }}{\mathrm{\mid }B\mathrm{\mid }}}=1\Rightarrow \mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }B\mathrm{\mid }\text{con}\mathrm{\mid }B\mathrm{\mid }\mathrm{\ne }0$

Calculamos los dos determinantes. En $A$ la tercera fila tiene un cero en el centro, así que desarrollamos por ella:

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=\mid \begin{array}{ccc}1& t& -t\\ 2t-1& t-1& t\\ t-2& 0& t-2\end{array}\mid =(t-2)\mid \begin{array}{cc}t& -t\\ t-1& t\end{array}\mid +(t-2)\mid \begin{array}{cc}1& t\\ 2t-1& t-1\end{array}\mid$

$=(t-2)[t^2+t(t-1)]+(t-2)[(t-1)-t(2t-1)]$

$=(t-2)[2t^2-t]+(t-2)[-2t^2+2t-1]=(t-2)(t-1)$

En $B$ desarrollamos por la tercera fila, que también tiene un cero:

$\mathrm{\mid }B\mathrm{\mid }=\mid \begin{array}{ccc}t-1& t& -t\\ 1-2t& 2t& -1\\ 0& -1& 1\end{array}\mid =1\cdot \mid \begin{array}{cc}t-1& -t\\ 1-2t& -1\end{array}\mid +1\cdot \mid \begin{array}{cc}t-1& t\\ 1-2t& 2t\end{array}\mid$

$=[-(t-1)+t(1-2t)]+[2t(t-1)-t(1-2t)]=[-2t^2+2t-1]+[4t^2-3t]$

$\mathrm{\mid }B\mathrm{\mid }=2t^2-t-1=(t-1)(2t-1)$

Imponemos la igualdad:

$(t-2)(t-1)=(t-1)(2t-1)\Rightarrow (t-1)[(t-2)-(2t-1)]=0\Rightarrow (t-1)(-t-1)=0$

$\{\begin{array}{l}t=1\\ t=-1\end{array}$

Hay que descartar los valores que anulan $\mathrm{\mid }B\mathrm{\mid }$, porque entonces $B$ no tiene inversa:

$\mathrm{\mid }B\mathrm{\mid }=(t-1)(2t-1)=0\Rightarrow t=1\text{ o }t={\displaystyle \frac{1}{2}}$

de modo que $t=1$ no sirve. Para $t=-1$ sí:

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=(-3)(-2)=6\mathrm{\mid }B\mathrm{\mid }=(-2)(-3)=6\mid A\cdot B^{-1}\mid ={\displaystyle \frac{6}{6}}=1$

El único valor que cumple la condición es $t=-1$.