Ejercicio resuelto de Matrices · Matemáticas II · Navarra · 2020

Sabiendo que la inversa de una matriz $A$ es $\left(\begin{array}{cc}2& -1\\ -1& 1\end{array}\right)$ y la inversa de la matriz $A\cdot B$ es $\left(\begin{array}{cc}-6& 1\\ 1& 0\end{array}\right)$, determine la matriz $B$. [2,5 puntos]

Llamemos $A^{-1}=\left(\begin{array}{cc}2& -1\\ -1& 1\end{array}\right)$ y $(A\cdot B{)}^{-1}=\left(\begin{array}{cc}-6& 1\\ 1& 0\end{array}\right)$.

La idea es despejar $B$ de $A\cdot B$ multiplicando por la izquierda por $A^{-1}$:

$A^{-1}\cdot (A\cdot B)=\left(A^{-1}A\right)B=I\cdot B=B$

de modo que basta conocer la matriz $A\cdot B$, que es la inversa de la que da el enunciado.

Invertimos $(A\cdot B{)}^{-1}$:

$\mid (A\cdot B{)}^{-1}\mid =\mid \begin{array}{cc}-6& 1\\ 1& 0\end{array}\mid =0-1=-1\mathrm{\ne }0$

$A\cdot B={\displaystyle \frac{1}{-1}}\left(\begin{array}{cc}0& -1\\ -1& -6\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 6\end{array}\right)$

Multiplicamos ahora por $A^{-1}$ por la izquierda:

$B=A^{-1}\cdot (A\cdot B)=\left(\begin{array}{cc}2& -1\\ -1& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 6\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}0-1& 2-6\\ 0+1& -1+6\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}-1& -4\\ 1& 5\end{array}\right)$

Comprobamos el resultado. De $A^{-1}$ se obtiene $A$ invirtiéndola —su determinante vale $2-1=1$—:

$A=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 2\end{array}\right)\Rightarrow A\cdot B=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 2\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}-1& -4\\ 1& 5\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 6\end{array}\right)$

cuya inversa es, en efecto, la matriz del enunciado.

La matriz pedida es $B=\left(\begin{array}{cc}-1& -4\\ 1& 5\end{array}\right)$.