Ejercicio resuelto de Matrices · Matemáticas II · 2026

a) Calcular $A$ si $(AB{)}^t=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 2& 1\end{array}\right)$ y $B=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ -1& 1\end{array}\right)$. [1 punto]

b) Si $M=\left(\begin{array}{cc}3& x\\ y& z\end{array}\right)$ es invertible, calcular $x$, $y$ y $z$ sabiendo que $(3z)M^{-1}+I=\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ -1& 4\end{array}\right)$. Entiéndase que $I$ es la matriz identidad. [1,5 puntos]

Trasponiendo de nuevo la igualdad del enunciado recuperamos el producto $AB$, ya que ${((AB{)}^t)}^t=AB$.

$AB={\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 2& 1\end{array}\right)}^t=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 0& 1\end{array}\right)$

$B$ es invertible, porque su determinante no se anula:

$\mathrm{\mid }B\mathrm{\mid }=\mid \begin{array}{cc}1& 1\\ -1& 1\end{array}\mid =1+1=2\mathrm{\ne }0$

Multiplicamos por la derecha por $B^{-1}$ para despejar $A$:

$AB{B}^{-1}=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 0& 1\end{array}\right)B^{-1}\Rightarrow A=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 0& 1\end{array}\right)B^{-1}$

$B^{-1}={\displaystyle \frac{1}{\mathrm{\mid }B\mathrm{\mid }}}\mathrm{Adj}\left(B^t\right)={\displaystyle \frac{1}{2}}\left(\begin{array}{cc}1& -1\\ 1& 1\end{array}\right)$

$A=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 0& 1\end{array}\right)\cdot {\displaystyle \frac{1}{2}}\left(\begin{array}{cc}1& -1\\ 1& 1\end{array}\right)={\displaystyle \frac{1}{2}}\left(\begin{array}{cc}3& 1\\ 1& 1\end{array}\right)$

Comprobamos el resultado multiplicando: $AB={\displaystyle \frac{1}{2}}\left(\begin{array}{cc}3& 1\\ 1& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ -1& 1\end{array}\right)={\displaystyle \frac{1}{2}}\left(\begin{array}{cc}2& 4\\ 0& 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 0& 1\end{array}\right)$.

La matriz pedida es $A={\displaystyle \frac{1}{2}}\left(\begin{array}{cc}3& 1\\ 1& 1\end{array}\right)$.



Despejamos primero el producto $(3z)M^{-1}$ pasando la identidad al otro miembro.

$(3z)M^{-1}=\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ -1& 4\end{array}\right)-\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ -1& 3\end{array}\right)$

En lugar de calcular $M^{-1}$, que obligaría a arrastrar el determinante $3z-xy$, multiplicamos los dos miembros por la derecha por $M$ y usamos que $M^{-1}M=I$:

$(3z)I=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ -1& 3\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}3& x\\ y& z\end{array}\right)$

$\left(\begin{array}{cc}3z& 0\\ 0& 3z\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}3& x\\ -3+3y& -x+3z\end{array}\right)$

Igualando elemento a elemento obtenemos un sistema inmediato:

$\{\begin{array}{l}3z=3\\ x=0\\ -3+3y=0\\ -x+3z=3z\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}x=0\\ y=1\\ z=1\end{array}$

Falta comprobar que con esos valores $M$ es realmente invertible, que es la hipótesis del enunciado:

$M=\left(\begin{array}{cc}3& 0\\ 1& 1\end{array}\right)\Rightarrow \mathrm{\mid }M\mathrm{\mid }=3\mathrm{\ne }0$

Los valores pedidos son $x=0$, $y=1$ y $z=1$.