Ejercicio resuelto de Matrices · Matemáticas II · 2023

Dadas las matrices $A=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& a\\ 1& 1\end{array}\right)$ y $B=\left(\begin{array}{cc}3& -1\\ a& 0\\ 3& -1\end{array}\right)$ con $a\in \mathbb{R}-\{0\}$.

a) Calcular la matriz $C$, siendo $c_{11}=2$, tal que $AC=B$. [1 punto]

b) Si $D=B^{t}A$, siendo $B^t$ la traspuesta de $B$, determinar los valores de $a$ para los que $D$ tiene matriz inversa. [1 punto]

Como $A$ es de orden $3\times 2$ y $B$ de orden $3\times 2$, la matriz $C$ ha de ser cuadrada de orden $2$. No podemos despejarla multiplicando por $A^{-1}$, porque $A$ no es cuadrada, así que planteamos el producto término a término.

$C=\left(\begin{array}{cc}p& q\\ r& s\end{array}\right)$

$AC=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& a\\ 1& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}p& q\\ r& s\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}p+r& q+s\\ ar& as\\ p+r& q+s\end{array}\right)$

Igualando a $B$ resulta un sistema en el que la primera y la tercera filas dan la misma información:

$\{\begin{array}{l}p+r=3\\ q+s=-1\\ ar=a\\ as=0\end{array}$

Como el enunciado exige $a\mathrm{\ne }0$, las dos últimas ecuaciones se simplifican dividiendo por $a$:

$r=1s=0$

y con ello

$p=3-r=2q=-1-s=-1$

$C=\left(\begin{array}{cc}2& -1\\ 1& 0\end{array}\right)$

El valor $c_{11}=2$ que anuncia el enunciado se obtiene, pues, sin necesidad de imponerlo. Comprobamos el producto:

$AC=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& a\\ 1& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}2& -1\\ 1& 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}3& -1\\ a& 0\\ 3& -1\end{array}\right)=B$



Una matriz cuadrada tiene inversa si y solo si su determinante no se anula, así que calculamos $D$ y su determinante.

$B^t=\left(\begin{array}{ccc}3& a& 3\\ -1& 0& -1\end{array}\right)$

$D=B^{t}A=\left(\begin{array}{ccc}3& a& 3\\ -1& 0& -1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& a\\ 1& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}6& 6+a^2\\ -2& -2\end{array}\right)$

$\mathrm{\mid }D\mathrm{\mid }=6\cdot (-2)-(6+a^2)\cdot (-2)=-12+12+2a^2=2a^2$

$\mathrm{\mid }D\mathrm{\mid }=0\iff 2a^2=0\iff a=0$

El único valor que anula el determinante es $a=0$, que el enunciado ya excluye.

Por tanto $D$ tiene matriz inversa para todos los valores admisibles, es decir, para todo $a\in \mathbb{R}-\{0\}$.