Ejercicio resuelto de Matrices · Matemáticas II · 2022

Dada la matriz $A=\left(\begin{array}{cc}a& a\\ 0& 1\end{array}\right)$, calcule el valor de $a$ que hace que:

$A^2=A^{-1}+\left(\begin{array}{cc}0& 3\\ 0& 0\end{array}\right)$ [2 puntos]

La igualdad involucra a $A^{-1}$, así que lo primero es exigir que la matriz sea invertible.

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=\mid \begin{array}{cc}a& a\\ 0& 1\end{array}\mid =a\Rightarrow a\mathrm{\ne }0$

Calculamos por separado los dos miembros en función de $a$.

$A^2=\left(\begin{array}{cc}a& a\\ 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}a& a\\ 0& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}{a}^2& a^2+a\\ 0& 1\end{array}\right)$

$A^{-1}={\displaystyle \frac{1}{a}}\mathrm{Adj}\left(A^t\right)={\displaystyle \frac{1}{a}}\left(\begin{array}{cc}1& -a\\ 0& a\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}{\displaystyle \frac{1}{a}}& -1\\ 0& 1\end{array}\right)$

$A^{-1}+\left(\begin{array}{cc}0& 3\\ 0& 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}{\displaystyle \frac{1}{a}}& 2\\ 0& 1\end{array}\right)$

Igualando elemento a elemento, la fila de abajo se cumple sola y quedan dos condiciones:

$\{\begin{array}{l}{a}^2={\displaystyle \frac{1}{a}}\\ a^2+a=2\end{array}$

De la primera:

$a^3=1\Rightarrow a=1$

que es la única raíz real. La segunda ecuación tiene dos soluciones,

$a^2+a-2=0\Rightarrow a={\displaystyle \frac{-1\pm 3}{2}}\Rightarrow \{\begin{array}{l}a=1\\ a=-2\end{array}$

y solo $a=1$ es común a ambas. Comprobamos que resuelve la ecuación matricial:

$A=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right)\Rightarrow A^2=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 0& 1\end{array}\right),A^{-1}+\left(\begin{array}{cc}0& 3\\ 0& 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& -1\\ 0& 1\end{array}\right)+\left(\begin{array}{cc}0& 3\\ 0& 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 0& 1\end{array}\right)$

El valor pedido es $a=1$.