Ejercicio resuelto de Matrices · Matemáticas II · 2020

Sea la matriz $A=\left(\begin{array}{cc}a+1& 1\\ a-3& a-3\end{array}\right)$.

a) Indique para qué valores de $a$ existe la matriz inversa $A^{-1}$. [0,5 puntos]

b) Si $a=4$, $B=\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 1& 1\end{array}\right)$, $C=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 2\end{array}\right)$, encuentre la matriz $X$ que verifica que $B+XA=C$. [1,5 puntos]

Una matriz cuadrada tiene inversa si y solo si su determinante no se anula.

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=\mid \begin{array}{cc}a+1& 1\\ a-3& a-3\end{array}\mid =(a+1)(a-3)-(a-3)$

Sacamos factor común $a-3$, que aparece en los dos sumandos:

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=(a-3)(a+1-1)=a(a-3)$

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=0\Rightarrow \{\begin{array}{l}a=0\\ a=3\end{array}$

Existe $A^{-1}$ para todo $a\in \mathbb{R}$ salvo $a=0$ y $a=3$.



Con $a=4$ la matriz es

$A=\left(\begin{array}{cc}5& 1\\ 1& 1\end{array}\right)\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=4\cdot (4-3)=4\mathrm{\ne }0$

En la ecuación $A$ multiplica a $X$ por la derecha, así que hay que multiplicar por $A^{-1}$ también por la derecha.

$XA=C-B=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 2\end{array}\right)-\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 1& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}-1& 1\\ -1& 1\end{array}\right)$

$A^{-1}={\displaystyle \frac{1}{4}}\mathrm{Adj}\left(A^t\right)={\displaystyle \frac{1}{4}}\left(\begin{array}{cc}1& -1\\ -1& 5\end{array}\right)$

$X=(C-B)A^{-1}=\left(\begin{array}{cc}-1& 1\\ -1& 1\end{array}\right)\cdot {\displaystyle \frac{1}{4}}\left(\begin{array}{cc}1& -1\\ -1& 5\end{array}\right)={\displaystyle \frac{1}{4}}\left(\begin{array}{cc}-2& 6\\ -2& 6\end{array}\right)$

$X=\left(\begin{array}{cc}-{\displaystyle \frac{1}{2}}& {\displaystyle \frac{3}{2}}\\ -{\displaystyle \frac{1}{2}}& {\displaystyle \frac{3}{2}}\end{array}\right)$

Comprobamos el resultado en la ecuación de partida:

$XA=\left(\begin{array}{cc}-{\displaystyle \frac{1}{2}}& {\displaystyle \frac{3}{2}}\\ -{\displaystyle \frac{1}{2}}& {\displaystyle \frac{3}{2}}\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}5& 1\\ 1& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}-1& 1\\ -1& 1\end{array}\right)\Rightarrow B+XA=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 2\end{array}\right)=C$