Ejercicio resuelto de Matrices · Matemáticas II · La Rioja · 2025

a) Dadas las matrices $A=\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 0& -1\end{array}\right)$ y $B=\left(\begin{array}{cc}8& -9\\ 6& -7\end{array}\right)$, halle las matrices $X$ y $X^{-1}$ tales que $XA{X}^{-1}=B$. [1,25 puntos]

b) Determine la relación entre $a$ y $b$, con $a,b\in \mathbb{R}$ conocidos, para que el sistema sea compatible. ¿Puede ser compatible determinado? [1,25 puntos]

$\{\begin{array}{l}2x+y-3z=a\\ -2x-y+3z=b\end{array}$

Conviene quitar la inversa multiplicando por la derecha por $X$, con lo que la ecuación se vuelve lineal en los elementos de la incógnita:

$XA{X}^{-1}=B\Rightarrow XA=BX$

Se escribe la matriz genérica y se calculan los dos productos:

$X=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)\Rightarrow XA=\left(\begin{array}{cc}2a& -b\\ 2c& -d\end{array}\right)$

$BX=\left(\begin{array}{cc}8a-9c& 8b-9d\\ 6a-7c& 6b-7d\end{array}\right)$

Igualando término a término:

$\{\begin{array}{l}2a=8a-9c\\ -b=8b-9d\\ 2c=6a-7c\\ -d=6b-7d\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}9c=6a\\ 9d=9b\\ 9c=6a\\ 6d=6b\end{array}$

Las cuatro se reducen a dos condiciones:

$c={\displaystyle \frac{2a}{3}};d=b$

Hay, por tanto, infinitas soluciones. Basta elegir una que sea regular; tomando $a=3$ y $b=1$:

$X=\left(\begin{array}{cc}3& 1\\ 2& 1\end{array}\right),\mathrm{\mid }X\mathrm{\mid }=3-2=1\mathrm{\ne }0$

$X^{-1}={\displaystyle \frac{1}{1}}\left(\begin{array}{cc}1& -1\\ -2& 3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& -1\\ -2& 3\end{array}\right)$

Se comprueba el resultado:

$XA{X}^{-1}=\left(\begin{array}{cc}6& -1\\ 4& -1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1& -1\\ -2& 3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}8& -9\\ 6& -7\end{array}\right)=B$

Las matrices $A$ y $B$ son semejantes, cosa coherente con que tengan la misma traza, $1$, y el mismo determinante, $-2$.



Se observa que el primer miembro de la segunda ecuación es el opuesto del de la primera:

$-2x-y+3z=-(2x+y-3z)$

De modo que si se suman las dos ecuaciones el primer miembro desaparece:

$0=a+b$

Si $a+b\mathrm{\ne }0$ se llega a una igualdad falsa y el sistema es incompatible.

Si $a+b=0$, es decir $b=-a$, la segunda ecuación es la primera multiplicada por $-1$: es redundante y el sistema se reduce a una sola ecuación con tres incógnitas.

$\text{rg}(A)=\text{rg}(A^{\ast })=1<3=\text{n}\acute{\text{u}}\text{mero de inc}\acute{\text{o}}\text{gnitas}$

El sistema es compatible si y solo si $a+b=0$, y en ese caso es siempre compatible indeterminado con dos grados de libertad. Nunca puede ser compatible determinado, porque el rango de la matriz de coeficientes no pasa de 1 y hay tres incógnitas.