Ejercicio resuelto de Matrices · Matemáticas II · La Rioja · 2024

Dada la matriz $A=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 2& 1\end{array}\right)$, halle dos matrices $B$ y $C$ que satisfagan las siguientes ecuaciones: [2 puntos]

$\{\begin{array}{l}B+C^{-1}=A,\\ B-C^{-1}=A^T,\end{array}$

donde $A^T$ denota la matriz traspuesta de $A$.

El sistema es lineal en las incógnitas matriciales $B$ y $C^{-1}$, así que se resuelve como un sistema numérico de dos ecuaciones: sumando se despeja $B$ y restando se despeja $C^{-1}$.

$A=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 2& 1\end{array}\right),A^T=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 1& 1\end{array}\right)$

Sumando las dos ecuaciones:

$2B=A+A^T=\left(\begin{array}{cc}2& 3\\ 3& 2\end{array}\right)\Rightarrow B=\left(\begin{array}{cc}1& 3\mathrm{/}2\\ 3\mathrm{/}2& 1\end{array}\right)$

Restando la segunda de la primera:

$2C^{-1}=A-A^T=\left(\begin{array}{cc}0& -1\\ 1& 0\end{array}\right)\Rightarrow C^{-1}=\left(\begin{array}{cc}0& -1\mathrm{/}2\\ 1\mathrm{/}2& 0\end{array}\right)$

Falta despejar $C$, que es la inversa de la matriz anterior. Su determinante es

$\mid C^{-1}\mid =\mid \begin{array}{cc}0& -1\mathrm{/}2\\ 1\mathrm{/}2& 0\end{array}\mid =0-(-{\displaystyle \frac{1}{2}})\cdot {\displaystyle \frac{1}{2}}={\displaystyle \frac{1}{4}}\mathrm{\ne }0$

y para una matriz de orden 2 la inversa se obtiene intercambiando la diagonal principal, cambiando de signo la secundaria y dividiendo por el determinante:

$C={\displaystyle \frac{1}{1\mathrm{/}4}}\left(\begin{array}{cc}0& 1\mathrm{/}2\\ -1\mathrm{/}2& 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}0& 2\\ -2& 0\end{array}\right)$

Se comprueba el resultado en las dos ecuaciones de partida:

$B+C^{-1}=\left(\begin{array}{cc}1& 3\mathrm{/}2\\ 3\mathrm{/}2& 1\end{array}\right)+\left(\begin{array}{cc}0& -1\mathrm{/}2\\ 1\mathrm{/}2& 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 2& 1\end{array}\right)=A$

$B-C^{-1}=\left(\begin{array}{cc}1& 3\mathrm{/}2\\ 3\mathrm{/}2& 1\end{array}\right)-\left(\begin{array}{cc}0& -1\mathrm{/}2\\ 1\mathrm{/}2& 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 1& 1\end{array}\right)=A^T$

Las matrices pedidas son $B=\left(\begin{array}{cc}1& 3\mathrm{/}2\\ 3\mathrm{/}2& 1\end{array}\right)$ y $C=\left(\begin{array}{cc}0& 2\\ -2& 0\end{array}\right)$.