Ejercicio resuelto de Matrices · Matemáticas II · La Rioja · 2023

i) Determine las matrices cuadradas de dimensión $2\times 2$ de la forma $M=\left(\begin{array}{cc}2& x\\ 0& y\end{array}\right)$ que satisfagan la siguiente identidad: $M{M}^T=\left(\begin{array}{cc}5& 1\\ 1& 1\end{array}\right)$, donde $M^T$ representa la matriz traspuesta de $M$. [1 punto]

ii) Resuelva el sistema [1 punto]

$\{\begin{array}{l}AX+BY=C,\\ AX=Y,\end{array}$

sabiendo que $A=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 0& 1\end{array}\right)$, $B=\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 1& 1\end{array}\right)$ y $C=\left(\begin{array}{cc}15& 3\\ 7& 3\end{array}\right)$.

Se efectúa el producto dejando $x$ e $y$ indicados:

$M{M}^T=\left(\begin{array}{cc}2& x\\ 0& y\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ x& y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}4+x^2& xy\\ xy& y^2\end{array}\right)$

Dos matrices son iguales cuando lo son elemento a elemento, lo que da tres condiciones distintas:

$\{\begin{array}{l}4+x^2=5\\ xy=1\\ y^2=1\end{array}$

De la primera, $x^2=1$, es decir $x=\pm 1$; de la tercera, $y=\pm 1$. La segunda obliga a que $x$ e $y$ tengan el mismo signo, porque su producto es positivo. Quedan dos matrices:

$M=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 0& 1\end{array}\right)\text{o}M=\left(\begin{array}{cc}2& -1\\ 0& -1\end{array}\right)$



Conviene despejar antes de operar. Sustituyendo la segunda ecuación en la primera, $AX$ se convierte en $Y$:

$Y+BY=C\Rightarrow (I+B)Y=C$

$I+B=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)+\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 1& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}3& 0\\ 1& 2\end{array}\right),\mathrm{\mid }I+B\mathrm{\mid }=6\mathrm{\ne }0$

luego $I+B$ tiene inversa y $Y=(I+B{)}^{-1}C$. Para una matriz de orden 2:

$(I+B{)}^{-1}={\displaystyle \frac{1}{6}}\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ -1& 3\end{array}\right)$

$Y={\displaystyle \frac{1}{6}}\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ -1& 3\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}15& 3\\ 7& 3\end{array}\right)={\displaystyle \frac{1}{6}}\left(\begin{array}{cc}30& 6\\ 6& 6\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}5& 1\\ 1& 1\end{array}\right)$

De la segunda ecuación, $X=A^{-1}Y$, y como $\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=2\mathrm{\ne }0$:

$A^{-1}={\displaystyle \frac{1}{2}}\left(\begin{array}{cc}1& -1\\ 0& 2\end{array}\right)$

$X={\displaystyle \frac{1}{2}}\left(\begin{array}{cc}1& -1\\ 0& 2\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}5& 1\\ 1& 1\end{array}\right)={\displaystyle \frac{1}{2}}\left(\begin{array}{cc}4& 0\\ 2& 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 1& 1\end{array}\right)$

Se comprueban las dos ecuaciones: $AX=\left(\begin{array}{cc}5& 1\\ 1& 1\end{array}\right)=Y$ y $AX+BY=\left(\begin{array}{cc}5& 1\\ 1& 1\end{array}\right)+\left(\begin{array}{cc}10& 2\\ 6& 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}15& 3\\ 7& 3\end{array}\right)=C$.

La solución del sistema es $X=\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 1& 1\end{array}\right)$ e $Y=\left(\begin{array}{cc}5& 1\\ 1& 1\end{array}\right)$.