Ejercicio resuelto de Matrices · Matemáticas II · La Rioja · 2021

Halle $A$ y $B$, matrices soluciones del sistema de ecuaciones [2 puntos]

$\{\begin{array}{l}3A-5B=C,\\ -A+3B=D,\end{array}$

donde $C$ y $D$ son las matrices

$C=\left(\begin{array}{cc}2& -4\\ 7& 4\\ -1& 2\end{array}\right),D=\left(\begin{array}{cc}2& 4\\ 3& 0\\ -1& 2\end{array}\right)$

Determine la matriz inversa de $C^{T}D$, donde $C^T$ es la matriz traspuesta de $C$.

El sistema es lineal en las incógnitas matriciales, de modo que se resuelve por reducción igual que uno numérico. Multiplicando la segunda ecuación por 3 y sumándola a la primera desaparece $A$:

$3A-5B=C$

$-3A+9B=3D$

$4B=C+3D\Rightarrow B={\displaystyle \frac{1}{4}}(C+3D)$

$C+3D=\left(\begin{array}{cc}2& -4\\ 7& 4\\ -1& 2\end{array}\right)+\left(\begin{array}{cc}6& 12\\ 9& 0\\ -3& 6\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}8& 8\\ 16& 4\\ -4& 8\end{array}\right)$

$B=\left(\begin{array}{cc}2& 2\\ 4& 1\\ -1& 2\end{array}\right)$

De la segunda ecuación se despeja $A=3B-D$:

$A=\left(\begin{array}{cc}6& 6\\ 12& 3\\ -3& 6\end{array}\right)-\left(\begin{array}{cc}2& 4\\ 3& 0\\ -1& 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}4& 2\\ 9& 3\\ -2& 4\end{array}\right)$

Se comprueba en la primera ecuación: $3A-5B=\left(\begin{array}{cc}12-10& 6-10\\ 27-20& 9-5\\ -6+5& 12-10\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}2& -4\\ 7& 4\\ -1& 2\end{array}\right)=C$.

Para la última parte se calcula primero el producto. Como $C^T$ es $2\times 3$ y $D$ es $3\times 2$, el resultado es una matriz cuadrada de orden 2 y tiene sentido su inversa.

$C^{T}D=\left(\begin{array}{ccc}2& 7& -1\\ -4& 4& 2\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}2& 4\\ 3& 0\\ -1& 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}26& 6\\ 2& -12\end{array}\right)$

$\mid C^{T}D\mid =26\cdot (-12)-6\cdot 2=-312-12=-324\mathrm{\ne }0$

Para una matriz de orden 2 la inversa se obtiene intercambiando la diagonal principal, cambiando de signo la secundaria y dividiendo por el determinante:

${\left(C^{T}D\right)}^{-1}={\displaystyle \frac{1}{-324}}\left(\begin{array}{cc}-12& -6\\ -2& 26\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}\frac{1}{27}& \frac{1}{54}\\ \frac{1}{162}& -\frac{13}{162}\end{array}\right)$