Ejercicio resuelto de Matrices · Matemáticas II · La Rioja · 2022

Calcule sin desarrollar el valor del siguiente determinante: [2 puntos]

$\mid \begin{array}{ccc}2& b& c+a\\ 2& a& b+c\\ 2& c& a+b\end{array}\mid$

Justifique en cada paso la propiedad de los determinantes que ha utilizado.

Se trabaja con las propiedades de los determinantes, sin llegar a desarrollar ninguno.

i) La primera columna tiene todos sus elementos iguales a 2. Como el determinante es lineal en cada línea, un factor común a toda una columna sale fuera:

$\mid \begin{array}{ccc}2& b& c+a\\ 2& a& b+c\\ 2& c& a+b\end{array}\mid =2\mid \begin{array}{ccc}1& b& c+a\\ 1& a& b+c\\ 1& c& a+b\end{array}\mid$

ii) El determinante no varía si a una línea se le suma otra multiplicada por un número. Se suma la segunda columna a la tercera, y en cada fila aparece la misma suma:

$=2\mid \begin{array}{ccc}1& b& a+b+c\\ 1& a& a+b+c\\ 1& c& a+b+c\end{array}\mid$

iii) Se saca ahora el factor común de la tercera columna, por la misma propiedad de i):

$=2(a+b+c)\mid \begin{array}{ccc}1& b& 1\\ 1& a& 1\\ 1& c& 1\end{array}\mid$

iv) Un determinante con dos líneas paralelas iguales es nulo, y aquí la primera y la tercera columna coinciden:

$\mid \begin{array}{ccc}1& b& 1\\ 1& a& 1\\ 1& c& 1\end{array}\mid =0$

Por lo tanto, cualesquiera que sean $a$, $b$ y $c$,

$\mid \begin{array}{ccc}2& b& c+a\\ 2& a& b+c\\ 2& c& a+b\end{array}\mid =2(a+b+c)\cdot 0=0$

El determinante vale 0. La razón de fondo es que la suma de la segunda y la tercera columna es proporcional a la primera, es decir, las tres columnas son linealmente dependientes.