Ejercicio resuelto de Matrices · Matemáticas II · La Rioja · 2022

Resuelva la siguiente ecuación matricial: [2 puntos]

$\left(\begin{array}{ccc}5& 2& 0\\ 0& 0& 1\\ 3& 1& 0\end{array}\right)\cdot X=\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 1& 0& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$

Llamando $A$ a la matriz de la izquierda y $B$ a la de la derecha, la ecuación es $AX=B$. Si $A$ tiene inversa, se despeja multiplicando por la izquierda —el orden importa, porque el producto de matrices no es conmutativo—:

$A^{-1}AX=A^{-1}B\Rightarrow X=A^{-1}B$

Se comprueba primero que la inversa existe, desarrollando el determinante por la segunda fila, que tiene dos ceros:

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=\mid \begin{array}{ccc}5& 2& 0\\ 0& 0& 1\\ 3& 1& 0\end{array}\mid =1\cdot (-1{)}^{2+3}\mid \begin{array}{cc}5& 2\\ 3& 1\end{array}\mid =-(5-6)=1\mathrm{\ne }0$

Se calcula la inversa por el método de la matriz adjunta, $A^{-1}={\displaystyle \frac{1}{\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }}}{\left(\text{Adj}A\right)}^T$. Los nueve adjuntos son

$A_{11}=\mid \begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\mid =-1,A_{12}=-\mid \begin{array}{cc}0& 1\\ 3& 0\end{array}\mid =3,A_{13}=\mid \begin{array}{cc}0& 0\\ 3& 1\end{array}\mid =0$

$A_{21}=-\mid \begin{array}{cc}2& 0\\ 1& 0\end{array}\mid =0,A_{22}=\mid \begin{array}{cc}5& 0\\ 3& 0\end{array}\mid =0,A_{23}=-\mid \begin{array}{cc}5& 2\\ 3& 1\end{array}\mid =1$

$A_{31}=\mid \begin{array}{cc}2& 0\\ 0& 1\end{array}\mid =2,A_{32}=-\mid \begin{array}{cc}5& 0\\ 0& 1\end{array}\mid =-5,A_{33}=\mid \begin{array}{cc}5& 2\\ 0& 0\end{array}\mid =0$

Como el determinante vale 1, la inversa es directamente la traspuesta de la matriz de adjuntos:

$A^{-1}=\left(\begin{array}{ccc}-1& 0& 2\\ 3& 0& -5\\ 0& 1& 0\end{array}\right)$

Finalmente se multiplica:

$X=A^{-1}B=\left(\begin{array}{ccc}-1& 0& 2\\ 3& 0& -5\\ 0& 1& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 1& 0& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}0& -1& 2\\ 0& 3& -5\\ 1& 0& 0\end{array}\right)$

Se comprueba el resultado:

$\left(\begin{array}{ccc}5& 2& 0\\ 0& 0& 1\\ 3& 1& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}0& -1& 2\\ 0& 3& -5\\ 1& 0& 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 1& 0& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$