Ejercicio resuelto de Matrices · Matemáticas II · La Rioja · 2024

Halle la matriz $X$ que satisface [2 puntos]

$AXA+B=B(2A+I),$

donde $A=\left(\begin{array}{cc}1& -1\\ 0& 1\end{array}\right)$, $B=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ -1& -1\end{array}\right)$ e $I$ es la matriz identidad de orden 2.

Conviene despejar $X$ en la ecuación matricial antes de tocar los números. Se desarrolla el segundo miembro:

$B(2A+I)=2BA+BI=2BA+B$

$AXA+B=2BA+B\Rightarrow AXA=2BA$

El producto de matrices no es conmutativo, así que hay que multiplicar por la inversa por el lado correcto en cada paso. Multiplicando por la izquierda por $A^{-1}$ y por la derecha también por $A^{-1}$:

$A^{-1}AXA{A}^{-1}=2A^{-1}BA{A}^{-1}\Rightarrow X=2A^{-1}B$

Hace falta, por tanto, la inversa de $A$. Su determinante es

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=\mid \begin{array}{cc}1& -1\\ 0& 1\end{array}\mid =1\mathrm{\ne }0$

y para una matriz de orden 2 basta intercambiar la diagonal principal, cambiar de signo la secundaria y dividir por el determinante:

$A^{-1}={\displaystyle \frac{1}{1}}\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right)$

Se sustituye y se opera:

$X=2\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ -1& -1\end{array}\right)=2\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ -1& -1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}0& 2\\ -2& -2\end{array}\right)$

Se comprueba el resultado sustituyendo en la ecuación de partida:

$AXA=\left(\begin{array}{cc}1& -1\\ 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}0& 2\\ -2& -2\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1& -1\\ 0& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}2& 2\\ -2& 0\end{array}\right)=2BA$

La matriz pedida es $X=\left(\begin{array}{cc}0& 2\\ -2& -2\end{array}\right)$.