Ejercicio resuelto de Matrices · Matemáticas II · La Rioja · 2025

a) Dadas las matrices $A=\left(\begin{array}{cc}1& 5\\ 4& 2\end{array}\right)$ y $B=\left(\begin{array}{cc}-1& 0\\ 3& 6\end{array}\right)$, halle las matrices $X$ e $Y$ soluciones del sistema: [1,25 puntos]

$\{\begin{array}{l}2X-3Y=A\\ X-Y=B\end{array}$

b) En una fábrica se produce queso y mantequilla. Para fabricar una unidad de queso se precisan 10 unidades de leche y 6 horas de mano de obra. Para la mantequilla se necesitan 5 unidades de leche y 8 horas de mano de obra por unidad. Sabiendo que se dispone cada día de 100000 unidades de leche y 110000 horas de mano de obra, calcule la producción posible de queso y de mantequilla considerando que se utiliza todo lo disponible. [1,25 puntos]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Halle}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{matrices}}\mathit{X}\mathbf{\text{e}}\mathit{Y}\mathbf{\text{soluciones}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{sistema:}}\mathbf{\text{[1,25}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Es un sistema de dos ecuaciones matriciales en el que las incógnitas solo aparecen multiplicadas por números, así que se resuelve por sustitución igual que un sistema numérico.

De la segunda ecuación se despeja $X=B+Y$ y se lleva a la primera:

$2(B+Y)-3Y=A\Rightarrow 2B+2Y-3Y=A$

$-Y=A-2B\Rightarrow Y=2B-A$

$X=B+Y=B+2B-A=3B-A$

Se sustituyen ahora las matrices concretas:

$Y=2\left(\begin{array}{cc}-1& 0\\ 3& 6\end{array}\right)-\left(\begin{array}{cc}1& 5\\ 4& 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}-3& -5\\ 2& 10\end{array}\right)$

$X=3\left(\begin{array}{cc}-1& 0\\ 3& 6\end{array}\right)-\left(\begin{array}{cc}1& 5\\ 4& 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}-4& -5\\ 5& 16\end{array}\right)$

Se comprueban las dos ecuaciones:

$X-Y=\left(\begin{array}{cc}-1& 0\\ 3& 6\end{array}\right)=B;2X-3Y=\left(\begin{array}{cc}1& 5\\ 4& 2\end{array}\right)=A$

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{producci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{posible}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{queso}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{mantequilla}}\mathbf{\text{considerando}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{utiliza}}\mathbf{\text{todo}}\mathbf{\text{lo}}\mathbf{\text{disponible.}}\mathbf{\text{[1,25}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Se llama $q$ al número de unidades de queso y $m$ al de mantequilla. Se ordena la información en una tabla.

$$	$\text{Leche}$	$\text{Mano de obra (h)}$
Queso $(q)$	$10q$	$6q$
Mantequilla $(m)$	$5m$	$8m$
Disponible	$100000$	$110000$

Como se aprovecha todo lo disponible, las dos restricciones son igualdades:

$\{\begin{array}{l}10q+5m=100000\\ 6q+8m=110000\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}2q+m=20000\\ 3q+4m=55000\end{array}$

De la primera se despeja $m=20000-2q$ y se sustituye en la segunda:

$3q+4(20000-2q)=55000\Rightarrow 3q+80000-8q=55000$

$-5q=-25000\Rightarrow q=5000$

$m=20000-10000=10000$

Se comprueban las dos condiciones: $10\cdot 5000+5\cdot 10000=100000$ y $6\cdot 5000+8\cdot 10000=110000$.

La fábrica puede producir 5000 unidades de queso y 10 000 de mantequilla al día.