Ejercicio resuelto de Matrices · Matemáticas II · La Rioja · 2025

a) Dada la matriz $A=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 1\\ 1& 1& -1\\ 1& 0& 3\end{array}\right)$, estudie el rango de la matriz $A-\lambda I$ según los valores de $\lambda \in \mathbb{R}$, donde $I$ es la matriz identidad de orden 3. [1,25 puntos]

b) Dada la matriz [1,25 puntos]

$A=\left(\begin{array}{cccc}1& -1& 2& 0\\ 2& 1& 3& 1\\ 0& 1& -1& 2\\ 0& 0& 4& -1\end{array}\right)$

calcule su determinante. ¿Qué solución tiene el sistema $AX=b$ siendo $b=(0,0,0,0{)}^T$? Nota: $b^T$ denota la matriz traspuesta de $b$.

Se escribe la matriz y se calcula su determinante. Conviene desarrollar por la segunda columna, que solo tiene un elemento no nulo.

$A-\lambda I=\left(\begin{array}{ccc}1-\lambda & 0& 1\\ 1& 1-\lambda & -1\\ 1& 0& 3-\lambda \end{array}\right)$

$\mathrm{\mid }A-\lambda I\mathrm{\mid }=(1-\lambda )\mid \begin{array}{cc}1-\lambda & 1\\ 1& 3-\lambda \end{array}\mid$

$=(1-\lambda )[(1-\lambda )(3-\lambda )-1]=(1-\lambda )({\lambda }^2-4\lambda +2)$

$\mathrm{\mid }A-\lambda I\mathrm{\mid }=0\Rightarrow \{\begin{array}{l}\lambda =1\\ {\lambda }^2-4\lambda +2=0\end{array}$

$\lambda ={\displaystyle \frac{4\pm \sqrt{16-8}}{2}}={\displaystyle \frac{4\pm 2\sqrt{2}}{2}}=2\pm \sqrt{2}$

Para los demás valores el determinante no se anula y el rango es 3.

Falta ver el rango en los tres valores críticos. En todos ellos queda un menor de orden 2 no nulo, así que el rango baja exactamente a 2:

Para $\lambda =1$ la matriz es $\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 1\\ 1& 0& -1\\ 1& 0& 2\end{array}\right)$ y el menor $\mid \begin{array}{cc}0& 1\\ 1& -1\end{array}\mid =-1\mathrm{\ne }0$.

Para $\lambda =2\pm \sqrt{2}$ el menor formado por las dos primeras filas y columnas vale $(1-\lambda {)}^2\mathrm{\ne }0$, porque $\lambda \mathrm{\ne }1$.

Resumiendo: el rango de $A-\lambda I$ es 3 si $\lambda \mathrm{\ne }1$, $\lambda \mathrm{\ne }2+\sqrt{2}$ y $\lambda \mathrm{\ne }2-\sqrt{2}$, y es 2 en esos tres valores.



Se calcula el determinante de orden 4 desarrollando por la primera columna, que tiene dos ceros:

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=1\mid \begin{array}{ccc}1& 3& 1\\ 1& -1& 2\\ 0& 4& -1\end{array}\mid -2\mid \begin{array}{ccc}-1& 2& 0\\ 1& -1& 2\\ 0& 4& -1\end{array}\mid$

$\mid \begin{array}{ccc}1& 3& 1\\ 1& -1& 2\\ 0& 4& -1\end{array}\mid =1(1-8)-3(-1-0)+1(4-0)=-7+3+4=0$

$\mid \begin{array}{ccc}-1& 2& 0\\ 1& -1& 2\\ 0& 4& -1\end{array}\mid =-1(1-8)-2(-1-0)+0=7+2=9$

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=1\cdot 0-2\cdot 9=-18$

El sistema $AX=b$ es homogéneo, luego siempre es compatible. Como el determinante de la matriz de coeficientes no se anula, el rango es 4 y coincide con el número de incógnitas:

$\text{rg}(A)=\text{rg}(A^{\ast })=4=\text{n}\acute{\text{u}}\text{mero de inc}\acute{\text{o}}\text{gnitas}$

El sistema es compatible determinado y su única solución es la trivial:

$X=(0,0,0,0{)}^T$