Ejercicio resuelto de Matrices · Matemáticas II · 2020

Sea la matriz $A=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ m& n\end{array}\right)$.

a) Encontrar los valores de $m$ y $n$ para que se verifique $A^2=A^t$, siendo $A^t$ la traspuesta de $A$. [1,2 puntos]

b) ¿Para qué valores de $m$ y $n$ la matriz $A$ no es invertible? [0,8 puntos]

Calculamos por separado los dos miembros y los igualamos elemento a elemento.

$A^2=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ m& n\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ m& n\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ m+nm& n^2\end{array}\right)$

$A^t=\left(\begin{array}{cc}1& m\\ 0& n\end{array}\right)$

$\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ m(1+n)& n^2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& m\\ 0& n\end{array}\right)\Rightarrow \{\begin{array}{l}0=m\\ m(1+n)=0\\ n^2=n\end{array}$

La primera ecuación da $m=0$, y con ese valor la segunda se cumple sola. Queda la tercera:

$n^2-n=0\Rightarrow n(n-1)=0\Rightarrow \{\begin{array}{l}n=0\\ n=1\end{array}$

Hay, pues, dos soluciones: $m=0$ con $n=0$ y $m=0$ con $n=1$. Se comprueban sustituyendo: en el primer caso $A=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 0\end{array}\right)$, que cumple $A^2=A=A^t$; en el segundo, $A=I$, que también.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{¿Para}}\mathbf{\text{qu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{valores}}\mathbf{\text{de}}\mathit{m}\mathbf{\text{y}}\mathit{n}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{matriz}}\mathit{A}\mathbf{\text{no}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{invertible?}}\mathbf{\text{[0,8}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Una matriz cuadrada no es invertible cuando su determinante se anula.

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=\mid \begin{array}{cc}1& 0\\ m& n\end{array}\mid =1\cdot n-0\cdot m=n$

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=0\iff n=0$

La matriz no es invertible exactamente cuando $n=0$, sea cual sea el valor de $m$: el parámetro $m$ no interviene en el determinante.