Ejercicio resuelto de Matrices · Matemáticas II · 2021

Dadas las matrices $M=\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ -1& 1\end{array}\right]$ y $N=\left[\begin{array}{cc}-1& 0\\ 0& 2\end{array}\right]$, hallar la matriz $P$ que verifica que $M^{-1}PM=N$. [2 puntos]

La incógnita está atrapada entre dos factores, así que hay que deshacerlos uno a uno: multiplicamos por $M$ por la izquierda y por $M^{-1}$ por la derecha, en ese orden.

$M\left(M^{-1}PM\right)M^{-1}=MN{M}^{-1}\Rightarrow P=MN{M}^{-1}$

La operación es lícita porque $M$ es invertible:

$\mathrm{\mid }M\mathrm{\mid }=\mid \begin{array}{cc}0& 1\\ -1& 1\end{array}\mid =0+1=1\mathrm{\ne }0$

$M^{-1}={\displaystyle \frac{1}{\mathrm{\mid }M\mathrm{\mid }}}\mathrm{Adj}\left(M^t\right)=\left(\begin{array}{cc}1& -1\\ 1& 0\end{array}\right)$

Multiplicamos por pasos, empezando por la izquierda:

$MN=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ -1& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}-1& 0\\ 0& 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}0& 2\\ 1& 2\end{array}\right)$

$P=(MN)M^{-1}=\left(\begin{array}{cc}0& 2\\ 1& 2\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1& -1\\ 1& 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 3& -1\end{array}\right)$

Comprobamos el resultado deshaciendo el camino:

$M^{-1}P=\left(\begin{array}{cc}1& -1\\ 1& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 3& -1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}-1& 1\\ 2& 0\end{array}\right)$

$\left(M^{-1}P\right)M=\left(\begin{array}{cc}-1& 1\\ 2& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ -1& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}-1& 0\\ 0& 2\end{array}\right)=N$

La matriz pedida es $P=\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 3& -1\end{array}\right)$.