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Examen de Matemáticas II de Castilla y León 2023 (convocatoria extraordinaria)

Ejercicios del examen de selectividad de Matemáticas II de Castilla y León, convocatoria extraordinaria de 2023. Aquí hay 10 ejercicios publicados, 10 con la solución desarrollada. El enunciado completo es el del PDF oficial.

Descargar el PDF oficial del examen

Ejercicio 1: Sistemas de ecuaciones

a) Obtener todas las soluciones del sistema siguiente: [1 punto]

{x+y+z=1x+2y−z=3

b) Determinar todos los a,b∈R para que x=5, y=−2, z=−2 sea solución del sistema

{x+y+z=1x+2y−z=3ax+2ay+bz=b

¿Para cuáles de esos valores la solución del sistema es única? [1 punto]

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Ejercicio 2: Matrices

Dadas las matrices A=(110a11) y B=(3−1a03−1) con a∈R−{0}.

a) Calcular la matriz C, siendo c11=2, tal que AC=B. [1 punto]

b) Si D=BtA, siendo Bt la traspuesta de B, determinar los valores de a para los que D tiene matriz inversa. [1 punto]

Ver la solución del ejercicio 2

Ejercicio 3: Rectas y Planos

Dadas las rectas r1≡{x=1+ty=2tz=−1+t,t∈R y r2≡x−13=y2=z2.

a) Razonar si existe un plano perpendicular a r2 que contenga a r1. [1 punto]

b) Calcular la recta con vector director perpendicular a los de las rectas r1 y r2 y que contiene al punto (1,0,0). [1 punto]

Ver la solución del ejercicio 3

Ejercicio 4: Rectas y Planos

Sea r la recta que pasa por los puntos (1,0,−1) y (0,1,1).

a) Determinar el plano que contiene a la recta r y al punto P=(0,0,1). [1 punto]

b) Calcular la distancia de la recta r al punto P=(0,0,1). [1 punto]

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Ejercicio 5: Límites y continuidad

Sea f(x)={12−x,si x<1,ln⁡(x),si x≥1.

a) Estudiar su continuidad y derivabilidad en x=1. [1 punto]

b) Estudiar sus asíntotas verticales y horizontales. [1 punto]

Ver la solución del ejercicio 5

Ejercicio 6: Funciones

Dada la función f(x)=x2(x+3), determinar su dominio de definición, puntos de corte de su gráfica con los ejes, intervalos de crecimiento y decrecimiento y extremos relativos. [2 puntos]

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Ejercicio 7: Límites y continuidad

Calcular:

a) lim⁡x→0sen⁡(x2)x3+4x2 [1 punto]

b) ∫0π/2sen⁡(x)cos⁡3(x) dx [1 punto]

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Ejercicio 8: Integrales y Áreas

Dadas las funciones f(x)=−x2 y g(x)=x3:

a) Comprobar que las gráficas de dichas funciones en [−1,0] sólo se cortan para x=−1 y x=0. Demostrar que en [−1,0] se cumple g(x)≥f(x). [1 punto]

b) Hallar el área del recinto limitado por las gráficas de dichas funciones. [1 punto]

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Ejercicio 9: Probabilidad

Sean A, B y C sucesos de un experimento aleatorio con probabilidades P(A)=0,3, P(B)=0,4 y P(C)=0,5 tales que A y B son independientes y A y C son incompatibles. Calcular las probabilidades P(A∩B), P(A∩C), P(A∩Cˉ), P(A∪B) y P(Aˉ∪Bˉ), siendo Aˉ, Bˉ y Cˉ los sucesos complementarios de A, B y C respectivamente. [2 puntos]

Ver la solución del ejercicio 9

Ejercicio 10: Probabilidad

De las camionetas que recogen los envases reciclados de una localidad el 45 % son de la marca C1, el 30 % de la marca C2 y el 25 % de la marca C3. La probabilidad de que una camioneta se averíe es: 0,02 si es de la marca C1, 0,05 si es de la marca C2 y 0,04 si es de la marca C3.

a) Indicar las 6 probabilidades que aparecen en el enunciado. [0,6 puntos]

b) Si se selecciona una de esas camionetas al azar, ¿qué probabilidad tiene de averiarse? [0,7 puntos]

c) Suponiendo que una de esas camionetas se ha averiado, ¿cuál es la probabilidad de que haya sido una camioneta de la marca C3? [0,7 puntos]

Ver la solución del ejercicio 10

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