Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas II

a) Obtener todas las soluciones del sistema siguiente: [1 punto]

$\{\begin{array}{l}x+y+z=1\\ x+2y-z=3\end{array}$

b) Determinar todos los $a,b\in \mathbb{R}$ para que $x=5$, $y=-2$, $z=-2$ sea solución del sistema

$\{\begin{array}{l}x+y+z=1\\ x+2y-z=3\\ ax+2ay+bz=b\end{array}$

¿Para cuáles de esos valores la solución del sistema es única? [1 punto]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Obtener}}\mathbf{\text{todas}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{soluciones}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{sistema}}\mathbf{\text{siguiente.}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

Son dos ecuaciones con tres incógnitas, así que el rango no puede pasar de $2$ y, al no ser las filas proporcionales, vale exactamente $2$: el sistema es compatible indeterminado con un grado de libertad.

$\{\begin{array}{l}x+y+z=1\\ x+2y-z=3\end{array}$

Restando la primera ecuación de la segunda desaparece $x$:

$y-2z=2\Rightarrow y=2+2z$

y sustituyendo en la primera se despeja $x$:

$x=1-y-z=1-(2+2z)-z=-1-3z$

Tomando $z=t$ como parámetro:

$\{\begin{array}{l}x=-1-3t\\ y=2+2t\\ z=t\end{array}t\in \mathbb{R}$

Se comprueba en la segunda ecuación: $(-1-3t)+2(2+2t)-t=-1-3t+4+4t-t=3$.

Las soluciones son los infinitos puntos de la recta $(-1-3t,2+2t,t)$.



Esa terna ya cumple las dos primeras ecuaciones —se obtiene del apartado anterior con $t=-2$—, de modo que la única condición nueva viene de la tercera.

$a\cdot 5+2a\cdot (-2)+b\cdot (-2)=b$

$5a-4a-2b=b\Rightarrow a=3b$

Para todo $b\in \mathbb{R}$ y $a=3b$ la terna dada es solución del sistema.

Para que además sea la única solución, el sistema tiene que ser compatible determinado, y para ello el determinante de la matriz de coeficientes no puede anularse.

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=\mid \begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 1& 2& -1\\ a& 2a& b\end{array}\mid =2b+2a-a-(2a-b+2a)$

Desarrollando y simplificando:

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=a+b$

Sustituyendo la relación $a=3b$ obtenida antes:

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=3b+b=4b$

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }\mathrm{\ne }0\iff b\mathrm{\ne }0$

La solución es única para los valores con $b\mathrm{\ne }0$ y $a=3b$. Si $b=0$, entonces también $a=0$, la tercera ecuación se reduce a $0=0$ y el sistema vuelve a tener las infinitas soluciones del apartado a).