Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas II · 2023

Sean $A$, $B$ y $C$ sucesos de un experimento aleatorio con probabilidades $P(A)=\mathrm{0,3}$, $P(B)=\mathrm{0,4}$ y $P(C)=\mathrm{0,5}$ tales que $A$ y $B$ son independientes y $A$ y $C$ son incompatibles. Calcular las probabilidades $P(A\cap B)$, $P(A\cap C)$, $P(A\cap \bar{C})$, $P(A\cup B)$ y $P(\bar{A}\cup \bar{B})$, siendo $\bar{A}$, $\bar{B}$ y $\bar{C}$ los sucesos complementarios de $A$, $B$ y $C$ respectivamente. [2 puntos]

Cada probabilidad sale de una propiedad distinta, así que las tomamos una a una traduciendo primero las dos hipótesis del enunciado.

Que $A$ y $B$ sean independientes significa que la probabilidad de la intersección es el producto de las probabilidades:

$P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)=\mathrm{0,3}\cdot \mathrm{0,4}=\mathrm{0,12}$

Que $A$ y $C$ sean incompatibles significa que no pueden ocurrir a la vez, es decir, que su intersección es el suceso imposible:

$P(A\cap C)=P(\mathrm{\varnothing })=0$

El suceso $A$ se reparte entre la parte que comparte con $C$ y la que no, de modo que

$P(A\cap \bar{C})=P(A)-P(A\cap C)=\mathrm{0,3}-0=\mathrm{0,3}$

Es decir, si $A$ ocurre, necesariamente no ha ocurrido $C$.

Para la unión aplicamos la fórmula que descuenta la parte contada dos veces:

$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)=\mathrm{0,3}+\mathrm{0,4}-\mathrm{0,12}=\mathrm{0,58}$

La última es la unión de los complementarios, que por las leyes de De Morgan es el complementario de la intersección:

$\bar{A}\cup \bar{B}=\overline{A\cap B}\Rightarrow P(\bar{A}\cup \bar{B})=1-P(A\cap B)=1-\mathrm{0,12}=\mathrm{0,88}$

El reparto del espacio muestral entre $A$ y $B$ queda así:



Los cinco valores pedidos son $P(A\cap B)=\mathrm{0,12}$, $P(A\cap C)=0$, $P(A\cap \bar{C})=\mathrm{0,3}$, $P(A\cup B)=\mathrm{0,58}$ y $P(\bar{A}\cup \bar{B})=\mathrm{0,88}$.