Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas II · 2022

Entre los participantes de un torneo internacional de ajedrez:

El 28 % de ellos son rusos, de los cuales las tres cuartas partes son grandes maestros.

El 24 % son estadounidenses y entre ellos la mitad son grandes maestros.

El 48 % son del resto del mundo, de los cuales un tercio son grandes maestros.

Considerando los sucesos $R=$ «ser ruso», $E=$ «ser estadounidense», $M=$ «no ser ruso ni estadounidense» y $GM=$ «ser gran maestro»:

a) Indique cuáles son los valores de $P(GM\mathrm{/}R)$, $P(GM\mathrm{/}E)$ y $P(GM\mathrm{/}M)$. [0,3 puntos]

b) Calcule la probabilidad de que al elegir al azar a uno de los participantes en el torneo, sea un gran maestro. [0,7 puntos]

c) Si se elige al azar a uno de los grandes maestros del torneo, ¿cuál es la probabilidad de que sea ruso? [1 punto]

Las proporciones de grandes maestros están referidas a cada procedencia, de modo que son probabilidades condicionadas y se leen directamente del enunciado:

$P(GM\mathrm{/}R)={\displaystyle \frac{3}{4}}=\mathrm{0,75}P(GM\mathrm{/}E)={\displaystyle \frac{1}{2}}=\mathrm{0,5}P(GM\mathrm{/}M)={\displaystyle \frac{1}{3}}$

Los porcentajes de participantes, en cambio, son probabilidades sin condicionar, y las tres procedencias forman un sistema completo de sucesos:

$P(R)=\mathrm{0,28}P(E)=\mathrm{0,24}P(M)=\mathrm{0,48}$



$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{elegir}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{azar}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{uno}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{participantes}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{torneo,}}\mathbf{\text{sea}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{gran}}\mathbf{\text{maestro.}}\mathbf{\text{[0,7}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Sumamos las tres ramas del árbol que acaban en gran maestro, que es el teorema de la probabilidad total.

$P(GM)=P(R)P(GM\mathrm{/}R)+P(E)P(GM\mathrm{/}E)+P(M)P(GM\mathrm{/}M)$

$P(GM)=\mathrm{0,28}\cdot \mathrm{0,75}+\mathrm{0,24}\cdot \mathrm{0,5}+\mathrm{0,48}\cdot {\displaystyle \frac{1}{3}}$

$P(GM)=\mathrm{0,21}+\mathrm{0,12}+\mathrm{0,16}=\mathrm{0,49}$

La probabilidad de que un participante elegido al azar sea gran maestro es $\mathrm{0,49}$, casi la mitad.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{Si}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{elige}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{azar}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{uno}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{grandes}}\mathbf{\text{maestros}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{torneo,}}\mathbf{\text{¿cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{sea}}\mathbf{\text{ruso?}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

La condición está ahora al final del experimento y la pregunta, al principio: es una probabilidad a posteriori y se calcula con el teorema de Bayes.

$P(R\mathrm{/}GM)={\displaystyle \frac{P(R\cap GM)}{P(GM)}}={\displaystyle \frac{P(R)P(GM\mathrm{/}R)}{P(GM)}}={\displaystyle \frac{\mathrm{0,21}}{\mathrm{0,49}}}$

$P(R\mathrm{/}GM)={\displaystyle \frac{3}{7}}\approx \mathrm{0,429}$

Sabiendo que el participante es gran maestro, la probabilidad de que sea ruso es ${\displaystyle \frac{3}{7}}\approx \mathrm{0,429}$, bastante mayor que el $28\mathrm{\%}$ que representan los rusos en el torneo.