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Examen de Matemáticas II de Castilla y León 2022 (convocatoria extraordinaria)

Ejercicios del examen de selectividad de Matemáticas II de Castilla y León, convocatoria extraordinaria de 2022. Aquí hay 10 ejercicios publicados, 10 con la solución desarrollada. El enunciado completo es el del PDF oficial.

Descargar el PDF oficial del examen

Ejercicio 1: Sistemas de ecuaciones

a) Discuta según los valores del parámetro

m

el sistema de ecuaciones lineales: [1,2 puntos]

{\begin{cases} x + y + m z = 4 \\ 2 x - y + 2 z = 3 \\ x - 2 y + z = 0 \end{cases}

b) Resuélvalo para

m = 2

. [0,8 puntos]

Ver la solución del ejercicio 1

Ejercicio 2: Matrices

a) Dadas las matrices

A = (\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{array})

B = (\begin{array}{cc} 0 & 2 \\ 1 & 0 \end{array})

C = (\begin{array}{cc} 1 & 3 \\ 2 & 2 \end{array})

, hállese la matriz

X

tal que

A X + B = C

. [1,2 puntos]

b) Dadas las matrices

M = (\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 1 \\ - 1 & 1 & 0 \end{array})

N = (\begin{array}{cc} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array})

P = (\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{array})

, explíquese cuáles de los productos

M N

M P

N P

pueden calcularse, y calcúlense cuando se pueda. [0,8 puntos]

Ver la solución del ejercicio 2

Ejercicio 3: Rectas y Planos

a) Calcule el plano que pasa por el punto

(1, 0, 1)

y es paralelo a los vectores

\vec{u} = (1, 1, 1)

\vec{v} = (1, 2, 3)

. [1,5 puntos]

b) Calcule el plano paralelo a

3 x + 2 y + 2 z + 1 = 0

que pasa por el punto

(1, 2, 3)

. [0,5 puntos]

Ver la solución del ejercicio 3

Ejercicio 4: Rectas y Planos

a) Encuéntrense las ecuaciones de la recta que está contenida en el plano

α \equiv x - y = 0

, es paralela al plano

β \equiv 2 x - 3 y + z = 4

y pasa por el punto

P = (1, 1, 3)

. [1 punto]

b) Hállese la ecuación del plano que es paralelo a

r \equiv x - 1 = y + 2 = \frac{z - 1}{2}

y pasa por los puntos

A = (0, 3, 1)

B = (- 2, 1, - 1)

. [1 punto]

Ver la solución del ejercicio 4

Ejercicio 5: Funciones

Dada la función

f (x) = \frac{x^{2}}{2 - x}

, se pide:

a) Encuentre su dominio y calcule sus asíntotas, si las tiene. [1 punto]

b) Determine los intervalos de crecimiento y decrecimiento y los máximos y mínimos relativos, si los tiene. [1 punto]

Ver la solución del ejercicio 5

Ejercicio 6: Límites y continuidad

a) Calcule

\lim_{x \to 0} \frac{\ln (1 + x)}{e^{x} - 1}

. [1 punto]

b) Estudiando previamente el signo de la función en el intervalo

[0, 3]

, hállese el área limitada por la gráfica de la función

f (x) = x^{3} - 9 x

y el eje de abscisas, cuando

x

varía en el intervalo

[0, 3]

. [1 punto]

Ver la solución del ejercicio 6

Ejercicio 7: Límites y continuidad

a) Enuncie el Teorema de Bolzano. [1 punto]

b) Averigüe si la función

f (x) = x + sen x - 2

se anula en algún punto del intervalo

[0, \frac{π}{2}]

. [1 punto]

Ver la solución del ejercicio 7

Ejercicio 8: Integrales y Áreas

a) Estudie el signo de la función

f (x) = x^{3} - 4 x^{2} + 3 x

en el intervalo

[0, 2]

. [0,5 puntos]

b) Calcule el área limitada por la gráfica de la función

f (x) = x^{3} - 4 x^{2} + 3 x

y el eje de abscisas en el intervalo

[0, 2]

. [1,5 puntos]

Ver la solución del ejercicio 8

Ejercicio 9: Probabilidad

Entre los participantes de un torneo internacional de ajedrez:

El 28 % de ellos son rusos, de los cuales las tres cuartas partes son grandes maestros.

El 24 % son estadounidenses y entre ellos la mitad son grandes maestros.

El 48 % son del resto del mundo, de los cuales un tercio son grandes maestros.

Considerando los sucesos

R =

«ser ruso»,

E =

«ser estadounidense»,

M =

«no ser ruso ni estadounidense» y

G M =

«ser gran maestro»:

a) Indique cuáles son los valores de

P (G M / R)

P (G M / E)

P (G M / M)

. [0,3 puntos]

b) Calcule la probabilidad de que al elegir al azar a uno de los participantes en el torneo, sea un gran maestro. [0,7 puntos]

c) Si se elige al azar a uno de los grandes maestros del torneo, ¿cuál es la probabilidad de que sea ruso? [1 punto]

Ver la solución del ejercicio 9

Ejercicio 10: Distribución normal

La variable agudeza visual de una población se ajusta a una distribución normal de media 2 cpg (ciclos por segundo) y desviación típica 1 cpg. A los individuos con una agudeza visual inferior a

1,1

cpg se les considera con «problemas visuales graves».

a) ¿Qué porcentaje de la población tiene «problemas visuales graves»? [1 punto]

b) ¿Qué porcentaje de la población tiene una agudeza visual entre 2 y

2,9

cpg? [1 punto]

Ver la solución del ejercicio 10

Examen de Matemáticas II de Castilla y León 2022 (convocatoria extraordinaria)

Ejercicio 1: Sistemas de ecuaciones

Ejercicio 2: Matrices

Ejercicio 3: Rectas y Planos

Ejercicio 4: Rectas y Planos

Ejercicio 5: Funciones

Ejercicio 6: Límites y continuidad

Ejercicio 7: Límites y continuidad

Ejercicio 8: Integrales y Áreas

Ejercicio 9: Probabilidad

Ejercicio 10: Distribución normal

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