Ejercicio resuelto de Límites y continuidad · Matemáticas II

a) Calcule ${\displaystyle \underset{x\to 0}{\lim }{\displaystyle \frac{\ln (1+x)}{e^x-1}}}$. [1 punto]

b) Estudiando previamente el signo de la función en el intervalo $[0,3]$, hállese el área limitada por la gráfica de la función $f(x)=x^3-9x$ y el eje de abscisas, cuando $x$ varía en el intervalo $[0,3]$. [1 punto]

Al sustituir se anulan numerador y denominador, así que aplicamos la regla de L'Hôpital.

${\lim }_{x\to 0}{\displaystyle \frac{\ln (1+x)}{e^x-1}}={\displaystyle \frac{\ln 1}{1-1}}={\displaystyle \frac{0}{0}}$



El valor del límite es $1$.



Empezamos, como pide el enunciado, por el signo. Factorizamos la función para localizar sus ceros:

$f(x)=x^3-9x=x(x^2-9)=x(x-3)(x+3)$

$f(x)=0\Rightarrow \{\begin{array}{l}x=0\\ x=3\\ x=-3\end{array}$

Los únicos ceros dentro del intervalo son sus propios extremos, así que la función mantiene el signo en todo $(0,3)$. Lo determinamos en un punto intermedio:

$f(1)=1-9=-8<0$

En $[0,3]$ el recinto queda, pues, por debajo del eje, y el área es el valor absoluto de la integral.

${\int }_0^3(x^3-9x)dx={[{\displaystyle \frac{x^4}{4}}-{\displaystyle \frac{9x^2}{2}}]}_0^3={\displaystyle \frac{81}{4}}-{\displaystyle \frac{81}{2}}=-{\displaystyle \frac{81}{4}}$

$\mathcal{A}=\mid -{\displaystyle \frac{81}{4}}\mid ={\displaystyle \frac{81}{4}}=\mathrm{20,25}$

El área pedida es de ${\displaystyle \frac{81}{4}}=\mathrm{20,25}$ unidades de área.