Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas II · 2024

Dados los sucesos $A$ y $B$ de un experimento aleatorio, se sabe que $P(A)=\mathrm{0,27}$, $P(B^{\mathrm{\prime }})=\mathrm{0,82}$ y $P(A\cup B)=\mathrm{0,4}$. Determine si los sucesos $A$ y $B$ son compatibles o incompatibles. Calcule $P((A\cup B{)}^{\mathrm{\prime }})$ y $P(A^{\mathrm{\prime }}\cup B^{\mathrm{\prime }})$, donde $A^{\mathrm{\prime }}$ significa suceso complementario de $A$. [2 puntos]

Lo primero es pasar el dato del complementario al suceso directo, porque las fórmulas de la unión trabajan con este:

$P(B)=1-P(B^{\mathrm{\prime }})=1-\mathrm{0,82}=\mathrm{0,18}$

Dos sucesos son incompatibles cuando no pueden ocurrir a la vez, es decir, cuando su intersección es el suceso imposible. La probabilidad de la intersección se despeja de la probabilidad de la unión:

$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$

$\mathrm{0,4}=\mathrm{0,27}+\mathrm{0,18}-P(A\cap B)\Rightarrow P(A\cap B)=\mathrm{0,45}-\mathrm{0,4}=\mathrm{0,05}$

Como $P(A\cap B)=\mathrm{0,05}\mathrm{\ne }0$, la intersección no es el suceso imposible y los sucesos $A$ y $B$ son compatibles.

Con las cuatro zonas ya determinadas el reparto de probabilidades queda así:



La primera probabilidad pedida es la del complementario de la unión:

$P((A\cup B{)}^{\mathrm{\prime }})=1-P(A\cup B)=1-\mathrm{0,4}=\mathrm{0,6}$

Para la segunda se aplican las leyes de De Morgan, que convierten la unión de los complementarios en el complementario de la intersección:

$P(A^{\mathrm{\prime }}\cup B^{\mathrm{\prime }})=P((A\cap B{)}^{\mathrm{\prime }})=1-P(A\cap B)=1-\mathrm{0,05}=\mathrm{0,95}$

Los sucesos son compatibles, $P((A\cup B{)}^{\mathrm{\prime }})=\mathrm{0,6}$ y $P(A^{\mathrm{\prime }}\cup B^{\mathrm{\prime }})=\mathrm{0,95}$.