Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas II · 2024

El 2 % de la población mundial padece una cierta enfermedad. Se dispone de una prueba para detectarla, pero no es fiable: en el 98 % de los casos da positivo en personas enfermas y en el 4 % de los casos da positivo en personas sanas. Halle: [2 puntos]

i) La probabilidad de que una persona esté sana, habiendo salido la prueba positiva.

ii) Habiendo salido la prueba negativa, la probabilidad de que una persona esté enferma.

Se nombran los sucesos:

$E\equiv$ la persona está enferma; $S=E^{\mathrm{\prime }}\equiv$ la persona está sana; $+\equiv$ la prueba da positivo; $-\equiv$ la prueba da negativo.

Los datos del enunciado son las probabilidades a priori y las condicionadas de la prueba:

$P(E)=\mathrm{0,02},P(S)=\mathrm{0,98},P(+\mathrm{\mid }E)=\mathrm{0,98},P(+\mathrm{\mid }S)=\mathrm{0,04}$

y, por complementario dentro de cada rama, $P(-\mathrm{\mid }E)=\mathrm{0,02}$ y $P(-\mathrm{\mid }S)=\mathrm{0,96}$. El experimento se hace en dos etapas —primero el estado de la persona y después el resultado de la prueba—, así que se organiza en un árbol:



$\mathbf{\text{i)}}\mathbf{\text{La}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{persona}}\mathbf{\text{est}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{sana,}}\mathbf{\text{habiendo}}\mathbf{\text{salido}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{prueba}}\mathbf{\text{positiva.}}$

Se pide $P(S\mathrm{\mid }+)$, una probabilidad condicionada en sentido contrario al de los datos: es el teorema de Bayes. Antes hace falta la probabilidad total de dar positivo, que se obtiene sumando las dos ramas del árbol que acaban en $+$:

$P(+)=P(E)\cdot P(+\mathrm{\mid }E)+P(S)\cdot P(+\mathrm{\mid }S)=\mathrm{0,02}\cdot \mathrm{0,98}+\mathrm{0,98}\cdot \mathrm{0,04}$

$P(+)=\mathrm{0,0196}+\mathrm{0,0392}=\mathrm{0,0588}$

$P(S\mathrm{\mid }+)={\displaystyle \frac{P(S)\cdot P(+\mathrm{\mid }S)}{P(+)}}={\displaystyle \frac{\mathrm{0,0392}}{\mathrm{0,0588}}}={\displaystyle \frac{2}{3}}\approx \mathrm{0,6667}$

La probabilidad de estar sano habiendo dado positivo es ${\displaystyle \frac{2}{3}}\approx \mathrm{0,6667}$: dos de cada tres positivos son falsos positivos, y es que la enfermedad es rara y los sanos son muchísimos más.

$\mathbf{\text{ii)}}\mathbf{\text{Habiendo}}\mathbf{\text{salido}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{prueba}}\mathbf{\text{negativa,}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{persona}}\mathbf{\text{est}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{enferma.}}$

Se procede igual con la otra rama. La probabilidad total de dar negativo es

$P(-)=P(E)\cdot P(-\mathrm{\mid }E)+P(S)\cdot P(-\mathrm{\mid }S)=\mathrm{0,02}\cdot \mathrm{0,02}+\mathrm{0,98}\cdot \mathrm{0,96}$

$P(-)=\mathrm{0,0004}+\mathrm{0,9408}=\mathrm{0,9412}$

$P(E\mathrm{\mid }-)={\displaystyle \frac{P(E)\cdot P(-\mathrm{\mid }E)}{P(-)}}={\displaystyle \frac{\mathrm{0,0004}}{\mathrm{0,9412}}}\approx \mathrm{0,000425}$

La probabilidad de estar enfermo habiendo dado negativo es de aproximadamente $\mathrm{0,000425}$, es decir, unos 4 casos por cada 10 000 pruebas negativas.