Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas II · 2023

En una empresa automovilística se ha recibido un lote de piezas de coches de tipos A, B y C. El 80 % corresponde al coche de tipo A, el 10 % al B y el resto al C. Se ha observado que hay piezas defectuosas en los siguientes porcentajes: el 10 % de A, el 20 % de B y el 5 % de C. Se elige una pieza al azar. Calcule: [2 puntos]

i) La probabilidad de coger una pieza defectuosa.

ii) Si se sabe que la pieza es defectuosa, la probabilidad de que sea del tipo A.

Se nombran los sucesos:

$A$, $B$ y $C\equiv$ la pieza elegida es del tipo A, B o C; $D\equiv$ la pieza es defectuosa.

El enunciado da las proporciones de cada tipo en el lote y, dentro de cada uno, la proporción de defectuosas. El resto hasta el 100 % corresponde al tipo C:

$P(A)=\mathrm{0,8},P(B)=\mathrm{0,1},P(C)=\mathrm{0,1}$

$P(D\mathrm{\mid }A)=\mathrm{0,1},P(D\mathrm{\mid }B)=\mathrm{0,2},P(D\mathrm{\mid }C)=\mathrm{0,05}$

Al elegir la pieza se decide primero el tipo y después si sale defectuosa, así que el experimento se organiza en un árbol de dos etapas:



$\mathbf{\text{i)}}\mathbf{\text{La}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{coger}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{pieza}}\mathbf{\text{defectuosa.}}$

Los tres tipos forman un sistema completo de sucesos, de modo que se aplica el teorema de la probabilidad total: se suman las tres ramas del árbol que acaban en $D$.

$P(D)=P(A)P(D\mathrm{\mid }A)+P(B)P(D\mathrm{\mid }B)+P(C)P(D\mathrm{\mid }C)$

$P(D)=\mathrm{0,8}\cdot \mathrm{0,1}+\mathrm{0,1}\cdot \mathrm{0,2}+\mathrm{0,1}\cdot \mathrm{0,05}$

$P(D)=\mathrm{0,08}+\mathrm{0,02}+\mathrm{0,005}=\mathrm{0,105}$

La probabilidad de coger una pieza defectuosa es $\mathrm{0,105}$, es decir, un $\mathrm{10,5}\mathrm{\%}$.

$\mathbf{\text{ii)}}\mathbf{\text{Si}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{sabe}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{pieza}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{defectuosa,}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{sea}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{tipo}}\mathbf{\text{A.}}$

Ahora la condición va en sentido contrario al de los datos, así que se aplica el teorema de Bayes: se divide la rama favorable entre la probabilidad total ya calculada.

$P(A\mathrm{\mid }D)={\displaystyle \frac{P(A)P(D\mathrm{\mid }A)}{P(D)}}={\displaystyle \frac{\mathrm{0,08}}{\mathrm{0,105}}}={\displaystyle \frac{16}{21}}\approx \mathrm{0,7619}$

Sabiendo que la pieza es defectuosa, la probabilidad de que sea del tipo A es ${\displaystyle \frac{16}{21}}\approx \mathrm{0,7619}$.