Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas II · 2026

En el grado de Matemáticas, las probabilidades de aprobar las asignaturas Métodos Algorítmicos en Matemáticas, Estadística y Bases de datos son del 60 %, 75 % y 80 %, respectivamente.

a) Elegido al azar un estudiante que cursa las tres asignaturas, calcule la probabilidad de aprobar las tres. [0,5 puntos]

b) Elegido al azar un estudiante que cursa las tres asignaturas, calcule la probabilidad de suspender solo una de las tres. [0,75 puntos]

c) Elegido al azar un estudiante que ha suspendido solo una de las tres, calcule la probabilidad de que haya sido Métodos Algorítmicos en Matemáticas. [0,75 puntos]

Se nombran los sucesos:

$M\equiv$ aprobar Métodos Algorítmicos en Matemáticas,

$E\equiv$ aprobar Estadística, $B\equiv$ aprobar Bases de datos.

Del enunciado se leen las tres probabilidades, y se supone —como es habitual en este tipo de problema— que los tres resultados son independientes entre sí:

$P(M)=\mathrm{0,6};P(E)=\mathrm{0,75};P(B)=\mathrm{0,8}$

$P(\bar{M})=\mathrm{0,4};P(\bar{E})=\mathrm{0,25};P(\bar{B})=\mathrm{0,2}$

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Elegido}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{azar}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{estudiante}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{cursa}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{tres}}\mathbf{\text{asignaturas,}}\mathbf{\text{calcule}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{aprobar}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{tres.}}\mathbf{\text{[0,5}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Al ser independientes, la probabilidad de la intersección es el producto de las probabilidades.

$P(M\cap E\cap B)=P(M)\cdot P(E)\cdot P(B)$

$P(M\cap E\cap B)=\mathrm{0,6}\cdot \mathrm{0,75}\cdot \mathrm{0,8}=\mathrm{0,36}$

La probabilidad de aprobar las tres asignaturas es $\mathrm{0,36}$, es decir, un 36 %.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Elegido}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{azar}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{estudiante}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{cursa}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{tres}}\mathbf{\text{asignaturas,}}\mathbf{\text{calcule}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{suspender}}\mathbf{\text{solo}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{tres.}}\mathbf{\text{[0,75}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Suspender exactamente una asignatura puede ocurrir de tres maneras incompatibles, según cuál sea la suspendida. Se calcula cada una y se suman.

$P(\bar{M}\cap E\cap B)=\mathrm{0,4}\cdot \mathrm{0,75}\cdot \mathrm{0,8}=\mathrm{0,24}$

$P(M\cap \bar{E}\cap B)=\mathrm{0,6}\cdot \mathrm{0,25}\cdot \mathrm{0,8}=\mathrm{0,12}$

$P(M\cap E\cap \bar{B})=\mathrm{0,6}\cdot \mathrm{0,75}\cdot \mathrm{0,2}=\mathrm{0,09}$

$\text{Suspende}$	$\text{Producto}$	$\text{Probabilidad}$
Solo $M$	$\mathrm{0,4}\cdot \mathrm{0,75}\cdot \mathrm{0,8}$	$\mathrm{0,24}$
Solo $E$	$\mathrm{0,6}\cdot \mathrm{0,25}\cdot \mathrm{0,8}$	$\mathrm{0,12}$
Solo $B$	$\mathrm{0,6}\cdot \mathrm{0,75}\cdot \mathrm{0,2}$	$\mathrm{0,09}$
Total		$\mathrm{0,45}$

$P(\text{suspender solo una})=\mathrm{0,24}+\mathrm{0,12}+\mathrm{0,09}=\mathrm{0,45}$

La probabilidad de suspender solo una de las tres asignaturas es $\mathrm{0,45}$, es decir, un 45 %.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{Elegido}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{azar}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{estudiante}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{ha}}\mathbf{\text{suspendido}}\mathbf{\text{solo}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{tres,}}\mathbf{\text{calcule}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{haya}}\mathbf{\text{sido}}\mathbf{\text{M}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{todos}}\mathbf{\text{Algor}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{tmicos}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{Matem}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ticas.}}\mathbf{\text{[0,75}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Es una probabilidad condicionada: el espacio muestral se reduce a los estudiantes que han suspendido exactamente una asignatura, y de ellos interesan los que suspendieron la primera.

$P\left(\bar{M}\mathrm{/}\text{solo una}\right)={\displaystyle \frac{P(\bar{M}\cap E\cap B)}{P(\text{suspender solo una})}}={\displaystyle \frac{\mathrm{0,24}}{\mathrm{0,45}}}$

$={\displaystyle \frac{8}{15}}\approx \mathrm{0,5333}$

Sabiendo que el estudiante ha suspendido solo una asignatura, la probabilidad de que fuera Métodos Algorítmicos en Matemáticas es ${\displaystyle \frac{8}{15}}\approx \mathrm{0,5333}$, algo más de la mitad: es la asignatura con menor porcentaje de aprobados y por eso concentra la mayor parte de los suspensos únicos.