Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas II · 2021

Dentro de una caja hay bolas de varios colores que tienen todas el mismo tamaño y aspecto, siendo algunas de madera y las otras de metacrilato. Concretamente:

El 48 % son blancas y entre ellas dos tercios son de madera.

El 24 % son rojas, y de ellas las tres cuartas partes son de madera.

El 28 % son verdes, de las cuales la mitad son de madera.

Considerando los sucesos $B=$ «ser blanca», $R=$ «ser roja», $V=$ «ser verde» y $M=$ «ser de madera»:

a) Indicar cuáles son los valores de $P(M\mathrm{/}B)$, $P(M\mathrm{/}R)$ y $P(M\mathrm{/}V)$. [0,3 puntos]

b) Calcular la probabilidad de que al sacar al azar una de las bolas de la caja, sea de madera. [0,7 puntos]

c) Si solo se sabe que una de las bolas de la caja, elegida al azar, es de madera, ¿cuál es la probabilidad de que sea blanca? [1 punto]

Las proporciones de madera están referidas a cada color, de modo que son probabilidades condicionadas y se leen directamente del enunciado:

$P(M\mathrm{/}B)={\displaystyle \frac{2}{3}}P(M\mathrm{/}R)={\displaystyle \frac{3}{4}}P(M\mathrm{/}V)={\displaystyle \frac{1}{2}}$

Los porcentajes de color, en cambio, son probabilidades sin condicionar, y los tres colores forman un sistema completo de sucesos:

$P(B)=\mathrm{0,48}P(R)=\mathrm{0,24}P(V)=\mathrm{0,28}$



$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Calcular}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{sacar}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{azar}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{bolas}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{caja,}}\mathbf{\text{sea}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{madera.}}\mathbf{\text{[0,7}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Sumamos las tres ramas del árbol que acaban en madera, que es el teorema de la probabilidad total.

$P(M)=P(B)P(M\mathrm{/}B)+P(R)P(M\mathrm{/}R)+P(V)P(M\mathrm{/}V)$

$P(M)=\mathrm{0,48}\cdot {\displaystyle \frac{2}{3}}+\mathrm{0,24}\cdot {\displaystyle \frac{3}{4}}+\mathrm{0,28}\cdot {\displaystyle \frac{1}{2}}$

$P(M)=\mathrm{0,32}+\mathrm{0,18}+\mathrm{0,14}=\mathrm{0,64}$

La probabilidad de que la bola extraída sea de madera es $\mathrm{0,64}$.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{Si}}\mathbf{\text{solo}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{sabe}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{bolas}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{caja,}}\mathbf{\text{elegida}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{azar,}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{madera,}}\mathbf{\text{¿cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{sea}}\mathbf{\text{blanca?}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

La condición es ahora el material y la pregunta, el color: es una probabilidad a posteriori y se calcula con el teorema de Bayes.

$P(B\mathrm{/}M)={\displaystyle \frac{P(B\cap M)}{P(M)}}={\displaystyle \frac{P(B)P(M\mathrm{/}B)}{P(M)}}={\displaystyle \frac{\mathrm{0,32}}{\mathrm{0,64}}}$

$P(B\mathrm{/}M)={\displaystyle \frac{1}{2}}=\mathrm{0,5}$

Sabiendo que la bola es de madera, la probabilidad de que sea blanca es exactamente ${\displaystyle \frac{1}{2}}$: la mitad de las bolas de madera de la caja son blancas.