Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas II · 2020

La probabilidad de que a un puerto llegue un barco de tonelaje bajo, medio o alto es $\mathrm{0,6}$, $\mathrm{0,3}$ y $\mathrm{0,1}$, respectivamente. La probabilidad de que necesite mantenimiento en el puerto es $\mathrm{0,25}$ para los barcos de bajo tonelaje, $\mathrm{0,4}$ para los de tonelaje medio y $\mathrm{0,6}$ para los de tonelaje alto.

a) Si llega un barco a puerto, calcule la probabilidad de que necesite mantenimiento. [1 punto]

b) Si un barco ha necesitado mantenimiento, calcule la probabilidad de que sea de tonelaje medio. [1 punto]

Nombramos los sucesos:

$B\equiv$ el barco es de tonelaje bajo; $M\equiv$ es de tonelaje medio; $A\equiv$ es de tonelaje alto; $N\equiv$ el barco necesita mantenimiento.

Los tres tonelajes forman un sistema completo de sucesos, y las probabilidades de mantenimiento están referidas a cada uno, de modo que son condicionadas:

$P(B)=\mathrm{0,6}P(M)=\mathrm{0,3}P(A)=\mathrm{0,1}$

$P(N\mathrm{\mid }B)=\mathrm{0,25}P(N\mathrm{\mid }M)=\mathrm{0,4}P(N\mathrm{\mid }A)=\mathrm{0,6}$



$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Si}}\mathbf{\text{llega}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{barco}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{puerto,}}\mathbf{\text{calcule}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{necesite}}\mathbf{\text{mantenimiento.}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

Sumamos las tres ramas del árbol que acaban en mantenimiento, que es el teorema de la probabilidad total.

$P(N)=P(B)P(N\mathrm{\mid }B)+P(M)P(N\mathrm{\mid }M)+P(A)P(N\mathrm{\mid }A)$

$P(N)=\mathrm{0,6}\cdot \mathrm{0,25}+\mathrm{0,3}\cdot \mathrm{0,4}+\mathrm{0,1}\cdot \mathrm{0,6}$

$P(N)=\mathrm{0,15}+\mathrm{0,12}+\mathrm{0,06}=\mathrm{0,33}$

La probabilidad de que un barco que llega al puerto necesite mantenimiento es $\mathrm{0,33}$.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Si}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{barco}}\mathbf{\text{ha}}\mathbf{\text{necesitado}}\mathbf{\text{mantenimiento,}}\mathbf{\text{calcule}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{sea}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{tonelaje}}\mathbf{\text{medio.}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

La condición está al final del experimento y la pregunta, al principio: es una probabilidad a posteriori y se calcula con el teorema de Bayes.

$P(M\mathrm{\mid }N)={\displaystyle \frac{P(M\cap N)}{P(N)}}={\displaystyle \frac{P(M)P(N\mathrm{\mid }M)}{P(N)}}={\displaystyle \frac{\mathrm{0,12}}{\mathrm{0,33}}}$

$P(M\mathrm{\mid }N)={\displaystyle \frac{4}{11}}\approx \mathrm{0,364}$

Sabiendo que el barco ha necesitado mantenimiento, la probabilidad de que sea de tonelaje medio es ${\displaystyle \frac{4}{11}}\approx \mathrm{0,364}$, algo mayor que el $30\mathrm{\%}$ que representan esos barcos entre los que llegan al puerto.