Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas II · 2021

En un club deportivo, el 55 % de los socios son hombres y el 45 % mujeres. Entre los socios, el 60 % de los hombres practica la natación, así como el 40 % de las mujeres.

a) Describir los sucesos y sus probabilidades, y calcular la probabilidad de que un socio elegido al azar practique la natación. [1,25 puntos]

b) Sabiendo que una persona practica la natación, ¿cuál es la probabilidad de que sea una mujer? [0,75 puntos]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Describir}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{sucesos}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{sus}}\mathbf{\text{probabilidades,}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{calcular}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{socio}}\mathbf{\text{elegido}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{azar}}\mathbf{\text{practique}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{nataci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n.}}\mathbf{\text{[1,25}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Nombramos los sucesos:

$H\equiv$ el socio es hombre; $M\equiv$ el socio es mujer; $N\equiv$ el socio practica la natación.

Los dos primeros forman un sistema completo de sucesos, y los porcentajes de nadadores están referidos a cada sexo, de modo que son probabilidades condicionadas:

$P(H)=\mathrm{0,55}P(M)=\mathrm{0,45}$

$P(N\mathrm{\mid }H)=\mathrm{0,60}P(N\mathrm{\mid }M)=\mathrm{0,40}$



Sumamos las dos ramas que acaban en natación, que es el teorema de la probabilidad total.

$P(N)=P(H)P(N\mathrm{\mid }H)+P(M)P(N\mathrm{\mid }M)=\mathrm{0,55}\cdot \mathrm{0,60}+\mathrm{0,45}\cdot \mathrm{0,40}$

$P(N)=\mathrm{0,33}+\mathrm{0,18}=\mathrm{0,51}$

La probabilidad de que un socio elegido al azar practique la natación es $\mathrm{0,51}$.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Sabiendo}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{persona}}\mathbf{\text{practica}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{nataci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n,}}\mathbf{\text{¿cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{sea}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{mujer?}}\mathbf{\text{[0,75}}\mathbf{\text{puntos]}}$

La condición es ahora la natación y la pregunta, el sexo: es una probabilidad a posteriori y se calcula con el teorema de Bayes.

$P(M\mathrm{\mid }N)={\displaystyle \frac{P(M\cap N)}{P(N)}}={\displaystyle \frac{P(M)P(N\mathrm{\mid }M)}{P(N)}}={\displaystyle \frac{\mathrm{0,18}}{\mathrm{0,51}}}$

$P(M\mathrm{\mid }N)={\displaystyle \frac{6}{17}}\approx \mathrm{0,353}$

Sabiendo que la persona practica la natación, la probabilidad de que sea una mujer es ${\displaystyle \frac{6}{17}}\approx \mathrm{0,353}$, algo menos que el $45\mathrm{\%}$ que representan las mujeres en el club, porque entre ellas la proporción de nadadoras es menor.