Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas II · 2022

Una corporación fabrica herramientas de 3 tipos de calidades. Un 10 % de calidad Alta, un 70 % de calidad Estándar y un 20 % de calidad Baja. Se sabe que son defectuosas el 1 %, el 10 % y el 30 % del total de las herramientas respectivamente.

a) Se elige una herramienta al azar. Definiendo correctamente los sucesos que intervienen, calcúlese la probabilidad de que sea defectuosa. [1 punto]

b) Se elige una herramienta que resulta ser defectuosa. Definiendo correctamente los sucesos que intervienen, calcúlese la probabilidad de que la elegida sea de calidad estándar. [1 punto]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Se}}\mathbf{\text{elige}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{herramienta}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{azar.}}\mathbf{\text{Definiendo}}\mathbf{\text{correctamente}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{sucesos}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{intervienen,}}\mathbf{\text{calc}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{lese}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{sea}}\mathbf{\text{defectuosa.}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

Nombramos los sucesos:

$A\equiv$ la herramienta es de calidad alta; $E\equiv$ es de calidad estándar; $B\equiv$ es de calidad baja; $D\equiv$ la herramienta es defectuosa.

Las tres calidades forman un sistema completo de sucesos, y los porcentajes de defectos están referidos a cada una, de modo que son probabilidades condicionadas:

$P(A)=\mathrm{0,10}P(E)=\mathrm{0,70}P(B)=\mathrm{0,20}$

$P(D\mathrm{\mid }A)=\mathrm{0,01}P(D\mathrm{\mid }E)=\mathrm{0,10}P(D\mathrm{\mid }B)=\mathrm{0,30}$



Sumamos las tres ramas del árbol que acaban en defecto, que es el teorema de la probabilidad total.

$P(D)=P(A)P(D\mathrm{\mid }A)+P(E)P(D\mathrm{\mid }E)+P(B)P(D\mathrm{\mid }B)$

$P(D)=\mathrm{0,10}\cdot \mathrm{0,01}+\mathrm{0,70}\cdot \mathrm{0,10}+\mathrm{0,20}\cdot \mathrm{0,30}$

$P(D)=\mathrm{0,001}+\mathrm{0,07}+\mathrm{0,06}=\mathrm{0,131}$

La probabilidad de que una herramienta elegida al azar sea defectuosa es $\mathrm{0,131}$, es decir, un $\mathrm{13,1}\mathrm{\%}$.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Se}}\mathbf{\text{elige}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{herramienta}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{resulta}}\mathbf{\text{ser}}\mathbf{\text{defectuosa.}}\mathbf{\text{Definiendo}}\mathbf{\text{correctamente}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{sucesos}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{intervienen,}}\mathbf{\text{calc}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{lese}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{elegida}}\mathbf{\text{sea}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{calidad}}\mathbf{\text{est}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ndar.}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

Ahora la condición es el defecto y la pregunta, la calidad: es una probabilidad a posteriori y se calcula con el teorema de Bayes, con el mismo denominador del apartado anterior.

$P(E\mathrm{\mid }D)={\displaystyle \frac{P(E\cap D)}{P(D)}}={\displaystyle \frac{P(E)P(D\mathrm{\mid }E)}{P(D)}}={\displaystyle \frac{\mathrm{0,07}}{\mathrm{0,131}}}$

$P(E\mathrm{\mid }D)={\displaystyle \frac{70}{131}}\approx \mathrm{0,534}$

Sabiendo que la herramienta es defectuosa, la probabilidad de que sea de calidad estándar es ${\displaystyle \frac{70}{131}}\approx \mathrm{0,534}$: más de la mitad de las piezas defectuosas salen de ese grupo, sencillamente porque es el más numeroso.