Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas II · 2023

De las camionetas que recogen los envases reciclados de una localidad el 45 % son de la marca C1, el 30 % de la marca C2 y el 25 % de la marca C3. La probabilidad de que una camioneta se averíe es: $\mathrm{0,02}$ si es de la marca C1, $\mathrm{0,05}$ si es de la marca C2 y $\mathrm{0,04}$ si es de la marca C3.

a) Indicar las 6 probabilidades que aparecen en el enunciado. [0,6 puntos]

b) Si se selecciona una de esas camionetas al azar, ¿qué probabilidad tiene de averiarse? [0,7 puntos]

c) Suponiendo que una de esas camionetas se ha averiado, ¿cuál es la probabilidad de que haya sido una camioneta de la marca C3? [0,7 puntos]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Indicar}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{6}}\mathbf{\text{probabilidades}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{aparecen}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{enunciado.}}\mathbf{\text{[0,6}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Nombramos los sucesos:

$C_1,C_2,C_3\equiv$ la camioneta es de la marca correspondiente; $V\equiv$ la camioneta se avería.

Las tres marcas forman un sistema completo de sucesos, ya que sus porcentajes suman el total:

$P(C_1)=\mathrm{0,45}P(C_2)=\mathrm{0,30}P(C_3)=\mathrm{0,25}$

Las probabilidades de avería están referidas a cada marca, de modo que son condicionadas:

$P(V\mathrm{\mid }{C}_1)=\mathrm{0,02}P(V\mathrm{\mid }{C}_2)=\mathrm{0,05}P(V\mathrm{\mid }{C}_3)=\mathrm{0,04}$



$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Si}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{selecciona}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{esas}}\mathbf{\text{camionetas}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{azar,}}\mathbf{\text{¿qu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{tiene}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{averiarse?}}\mathbf{\text{[0,7}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Sumamos las tres ramas del árbol que acaban en avería, que es el teorema de la probabilidad total.

$P(V)=P(C_1)P(V\mathrm{\mid }{C}_1)+P(C_2)P(V\mathrm{\mid }{C}_2)+P(C_3)P(V\mathrm{\mid }{C}_3)$

$P(V)=\mathrm{0,45}\cdot \mathrm{0,02}+\mathrm{0,30}\cdot \mathrm{0,05}+\mathrm{0,25}\cdot \mathrm{0,04}$

$P(V)=\mathrm{0,009}+\mathrm{0,015}+\mathrm{0,010}=\mathrm{0,034}$

La probabilidad de que una camioneta elegida al azar se averíe es $\mathrm{0,034}$, es decir, un $\mathrm{3,4}\mathrm{\%}$.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{Suponiendo}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{esas}}\mathbf{\text{camionetas}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{ha}}\mathbf{\text{averiado,}}\mathbf{\text{¿cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{haya}}\mathbf{\text{sido}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{camioneta}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{marca}}\mathbf{\text{C3?}}\mathbf{\text{[0,7}}\mathbf{\text{puntos]}}$

La condición está al final del experimento y la pregunta, al principio: es una probabilidad a posteriori y se calcula con el teorema de Bayes.

$P(C_3\mathrm{\mid }V)={\displaystyle \frac{P(C_3\cap V)}{P(V)}}={\displaystyle \frac{P(C_3)P(V\mathrm{\mid }{C}_3)}{P(V)}}={\displaystyle \frac{\mathrm{0,010}}{\mathrm{0,034}}}$

$P(C_3\mathrm{\mid }V)={\displaystyle \frac{5}{17}}\approx \mathrm{0,294}$

Sabiendo que una camioneta se ha averiado, la probabilidad de que sea de la marca C3 es ${\displaystyle \frac{5}{17}}\approx \mathrm{0,294}$.