Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2023

Sea $r$ la recta que pasa por los puntos $(1,0,-1)$ y $(0,1,1)$.

a) Determinar el plano que contiene a la recta $r$ y al punto $P=(0,0,1)$. [1 punto]

b) Calcular la distancia de la recta $r$ al punto $P=(0,0,1)$. [1 punto]

La recta $r$ queda determinada por uno de los dos puntos y el vector que los une.

$A(1,0,-1){\vec{v}}_r=(0,1,1)-(1,0,-1)=(-1,1,2)$



El plano está generado por el punto $A$ y dos direcciones: la de la recta y la que va de $A$ a $P$. Antes conviene ver que $P$ no está en $r$, o el plano no quedaría determinado.

$\overrightarrow{AP}=(0,0,1)-(1,0,-1)=(-1,0,2)$

Los vectores $(-1,1,2)$ y $(-1,0,2)$ no son proporcionales, así que $P\mathrm{\notin }r$ y el plano existe y es único.

$\vec{n}={\vec{v}}_r\times \overrightarrow{AP}=\mid \begin{array}{ccc}\vec{i}& \vec{j}& \vec{k}\\ -1& 1& 2\\ -1& 0& 2\end{array}\mid =(2,0,1)$

$\pi \equiv 2x+z+D=0$

Imponemos que pase por $A(1,0,-1)$:

$2-1+D=0\Rightarrow D=-1$

$\pi \equiv 2x+z-1=0$

Se comprueba con los otros dos puntos: $(0,1,1)$ da $0+1-1=0$ y $P(0,0,1)$ da $0+1-1=0$.



Usamos la fórmula de la distancia de un punto a una recta, que mide el área del paralelogramo construido sobre $\overrightarrow{AP}$ y ${\vec{v}}_r$ dividida por la base.



$d(P,r)={\displaystyle \frac{\mid \overrightarrow{AP}\times {\vec{v}}_r\mid }{\mid {\vec{v}}_r\mid }}$

$\overrightarrow{AP}\times {\vec{v}}_r=\mid \begin{array}{ccc}\vec{i}& \vec{j}& \vec{k}\\ -1& 0& 2\\ -1& 1& 2\end{array}\mid =(-2,0,-1)$

$\mid \overrightarrow{AP}\times {\vec{v}}_r\mid =\sqrt{4+0+1}=\sqrt{5}$

$\mid {\vec{v}}_r\mid =\sqrt{1+1+4}=\sqrt{6}$

$d(P,r)={\displaystyle \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{6}}}={\displaystyle \frac{\sqrt{30}}{6}}\approx \mathrm{0,913}\text{ u}$

La distancia del punto $P$ a la recta $r$ es ${\displaystyle \frac{\sqrt{30}}{6}}\approx \mathrm{0,913}$ unidades.