Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2021

a) Hallar la recta perpendicular al plano $\pi \equiv x+y+z=1$ que pasa por el punto $A=(0,0,0)$. [0,8 puntos]

b) Calcular la ecuación del plano respecto del cual los puntos $P=(1,1,1)$ y $Q=(1,3,-1)$ son simétricos. [1,2 puntos]

Una recta perpendicular a un plano lleva la dirección del vector normal de este, que se lee de los coeficientes de la ecuación.

${\vec{n}}_{\pi }=(1,1,1)$

Con ese director y el origen como punto:

$r\equiv \{\begin{array}{l}x=t\\ y=t\\ z=t\end{array}t\in \mathbb{R}$

es decir, $r\equiv x=y=z$.



Dos puntos son simétricos respecto de un plano cuando este es su plano mediador: pasa por el punto medio del segmento que los une y es perpendicular a él. Esas dos condiciones lo determinan por completo.



El segmento da la dirección normal del plano:

$\overrightarrow{PQ}=(1,3,-1)-(1,1,1)=(0,2,-2)$

que podemos simplificar a $\vec{n}=(0,1,-1)$.

El punto medio es

$M=({\displaystyle \frac{1+1}{2}},{\displaystyle \frac{1+3}{2}},{\displaystyle \frac{1-1}{2}})=(1,2,0)$

$\sigma \equiv y-z+D=0$

Imponemos que pase por $M$:

$2-0+D=0\Rightarrow D=-2$

$\sigma \equiv y-z-2=0$

Comprobamos que los dos puntos equidistan del plano, como debe ocurrir:

$d(P,\sigma )={\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }1-1-2\mathrm{\mid }}{\sqrt{2}}}={\displaystyle \frac{2}{\sqrt{2}}}=\sqrt{2}d(Q,\sigma )={\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }3+1-2\mathrm{\mid }}{\sqrt{2}}}=\sqrt{2}$

El plano pedido es $\sigma \equiv y-z-2=0$.