Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2020

Sea el plano $\pi \equiv x-2y+2z+1=0$, la recta $r\equiv \{\begin{array}{l}x-y=0\\ z+1=0\end{array}$ y el punto $A=(1,3,-1)$.

Hallar la ecuación del plano que pasa por $A$, es paralelo a $r$ y perpendicular a $\pi$. [2 puntos]

$\mathbf{\text{Hallar}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{ecuaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{plano}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{pasa}}\mathbf{\text{por}}\mathit{A}\mathbf{\text{,}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{paralelo}}\mathbf{\text{a}}\mathit{r}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{perpendicular}}\mathbf{\text{a}}\mathit{\pi }\mathbf{\text{.}}\mathbf{\text{[2}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Las dos condiciones geométricas dan las dos direcciones que genera el plano: ser paralelo a $r$ significa contener su dirección, y ser perpendicular a $\pi$, contener la de su vector normal. El normal del plano buscado es el producto vectorial de ambas.

La recta viene dada como intersección de dos planos, así que su director es perpendicular a las dos normales:

${\vec{v}}_r=(1,-1,0)\times (0,0,1)=\mid \begin{array}{ccc}\vec{i}& \vec{j}& \vec{k}\\ 1& -1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\mid =(-1,-1,0)$

${\vec{n}}_{\pi }=(1,-2,2)$

$\vec{n}={\vec{v}}_r\times {\vec{n}}_{\pi }=\mid \begin{array}{ccc}\vec{i}& \vec{j}& \vec{k}\\ -1& -1& 0\\ 1& -2& 2\end{array}\mid =(-2,2,3)$

Cambiando el signo, $\vec{n}=(2,-2,-3)$.

$\sigma \equiv 2x-2y-3z+D=0$

Imponemos que pase por $A(1,3,-1)$:

$2-6+3+D=0\Rightarrow D=1$

$\sigma \equiv 2x-2y-3z+1=0$



Comprobamos las dos condiciones. Es perpendicular a $\pi$, porque sus normales son ortogonales, $(2,-2,-3)\cdot (1,-2,2)=2+4-6=0$; y es paralelo a $r$, porque $(2,-2,-3)\cdot (-1,-1,0)=-2+2=0$ y, además, el punto $(0,0,-1)$ de la recta da $0-0+3+1=4\mathrm{\ne }0$, luego $r$ no está contenida en el plano.