Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2021

Dada la recta $r\equiv x-1={\displaystyle \frac{y-2}{-1}}={\displaystyle \frac{z-1}{2}}$:

a) Calcular el plano ${\pi }_1$ que pasa por $A=(1,2,3)$ y es perpendicular a la recta $r$. [0,5 puntos]

b) Calcular el plano ${\pi }_2$ que pasa por $B=(-1,1,-1)$ y contiene a la recta $r$. [1,5 puntos]

De la ecuación continua de la recta leemos un punto y su vector director, que son los datos que usarán los dos apartados.

$C(1,2,1){\vec{v}}_r=(1,-1,2)$



Un plano perpendicular a una recta tiene por vector normal el director de esta.

${\pi }_1\equiv x-y+2z+D=0$

Imponemos que pase por $A(1,2,3)$:

$1-2+6+D=0\Rightarrow D=-5$

${\pi }_1\equiv x-y+2z-5=0$



El plano queda determinado por el punto $C$ de la recta, la dirección de esta y la dirección $\overrightarrow{CB}$. Antes conviene comprobar que $B$ no está en $r$, o el plano no sería único.

$\overrightarrow{CB}=(-1,1,-1)-(1,2,1)=(-2,-1,-2)$

Los vectores $(1,-1,2)$ y $(-2,-1,-2)$ no son proporcionales, luego $B\mathrm{\notin }r$.

$\vec{n}={\vec{v}}_r\times \overrightarrow{CB}=\mid \begin{array}{ccc}\vec{i}& \vec{j}& \vec{k}\\ 1& -1& 2\\ -2& -1& -2\end{array}\mid =(4,-2,-3)$

${\pi }_2\equiv 4x-2y-3z+D=0$

Imponemos que pase por $C(1,2,1)$:

$4-4-3+D=0\Rightarrow D=3$

${\pi }_2\equiv 4x-2y-3z+3=0$

Comprobamos las dos condiciones: pasa por $B(-1,1,-1)$, ya que $-4-2+3+3=0$, y contiene la dirección de la recta, porque $(4,-2,-3)\cdot (1,-1,2)=4+2-6=0$.