Ejercicio resuelto de Límites y continuidad · Matemáticas II

Sea $f(x)=\{\begin{array}{ll}{\displaystyle \frac{1}{2-x}},& \text{si }x<1,\\ \ln (x),& \text{si }x\ge 1.\end{array}$

a) Estudiar su continuidad y derivabilidad en $x=1$. [1 punto]

b) Estudiar sus asíntotas verticales y horizontales. [1 punto]

Para que una función a trozos sea continua en el punto de empalme tienen que coincidir los dos límites laterales y el valor de la función.

${\lim }_{x\to 1^{-}}{\displaystyle \frac{1}{2-x}}={\displaystyle \frac{1}{2-1}}=1$

$f(1)=\ln 1=0{\lim }_{x\to 1^{+}}\ln x=0$

$1\mathrm{\ne }0$

Los límites laterales existen pero son distintos, de modo que $f$ presenta en $x=1$ una discontinuidad de salto finito, de valor $1$.

Como la derivabilidad implica la continuidad, y aquí esta falla, la función no es derivable en $x=1$. No hace falta comparar las derivadas laterales.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Estudiar}}\mathbf{\text{sus}}\mathbf{\text{as}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{ntotas}}\mathbf{\text{verticales}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{horizontales.}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

Asíntotas verticales. El único denominador que aparece es $2-x$, que se anula en $x=2$; pero ese valor cae fuera del tramo en que se usa esa expresión, ya que allí se exige $x<1$. En $x=2$ la función vale $\ln 2$, un número perfectamente definido.

El segundo trozo, $\ln x$, tampoco presenta problemas: se usa para $x\ge 1$, donde el logaritmo es continuo.

No hay, por tanto, ninguna asíntota vertical; el único punto conflictivo es $x=1$, y allí lo que hay es un salto finito, no una rama infinita.

Asíntotas horizontales. Estudiamos las dos ramas, cada una con su trozo:

${\lim }_{x\to -\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{1}{2-x}}={\displaystyle \frac{1}{+\mathrm{\infty }}}=0$

${\lim }_{x\to +\mathrm{\infty }}\ln x=+\mathrm{\infty }$

La función tiene la asíntota horizontal $y=0$ cuando $x\to -\mathrm{\infty }$, y ninguna por la derecha.