Ejercicio resuelto de Límites y continuidad · Matemáticas II

Calcule:

a) ${\displaystyle \underset{x\to 0}{\lim }{\displaystyle \frac{e^x-x-1}{x^2}}}$ [1 punto]

b) ${\displaystyle {\int }_0^{1}x{e}^{x}dx}$ [1 punto]

Al sustituir se anulan numerador y denominador, así que aplicamos la regla de L'Hôpital.

${\lim }_{x\to 0}{\displaystyle \frac{e^x-x-1}{x^2}}={\displaystyle \frac{1-0-1}{0}}={\displaystyle \frac{0}{0}}$



Sigue siendo indeterminado, de modo que volvemos a derivar arriba y abajo:



El valor del límite es ${\displaystyle \frac{1}{2}}$.



El integrando es un polinomio por una exponencial, caso típico de integración por partes tomando como $u$ el polinomio, que baja de grado al derivar.

$\{\begin{array}{ll}u=x& du=dx\\ dv=e^{x}dx& v=e^x\end{array}$

$\int x{e}^{x}dx=x{e}^x-\int e^{x}dx=x{e}^x-e^x=e^x(x-1)$

Aplicando la regla de Barrow:

${\int }_0^{1}x{e}^{x}dx={[e^x(x-1)]}_0^1=e\cdot 0-1\cdot (-1)=1$

El valor de la integral es $1$.