Ejercicio resuelto de Matrices · Matemáticas II · 2026

Sean las matrices $A=\left(\begin{array}{ccc}2& 2& 0\\ 0& 2& 0\\ 2& 0& 4\end{array}\right)$, $B=\left(\begin{array}{ccc}-3& 4& -6\\ -2& 1& -2\\ -11& 3& -8\end{array}\right)$ e $I=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$.

a) Resolver la ecuación matricial ${\displaystyle \frac{1}{4}}{A}^2-AX=B$. [0,5 puntos]

b) Discutir el sistema de ecuaciones $(A-\alpha I)\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$ en función del parámetro $\alpha \in \mathbb{R}$. [1,5 puntos]

c) Si $\mid \begin{array}{ccc}a& b& c\\ d& e& f\\ g& h& i\end{array}\mid =-2$, calcular el valor de $\mid \begin{array}{ccc}g-5a& 2d& a\\ 2h-10b& 4e& 2b\\ i-5c& 2f& c\end{array}\mid$. [0,5 puntos]

Despejamos $X$ como si fuera una ecuación numérica, pero cuidando el orden de los factores: $A$ multiplica a $X$ por la izquierda, luego habrá que multiplicar por $A^{-1}$ también por la izquierda.

$AX={\displaystyle \frac{1}{4}}{A}^2-B\Rightarrow X=A^{-1}({\displaystyle \frac{1}{4}}{A}^2-B)$

La operación es lícita porque $A$ es invertible:

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=\mid \begin{array}{ccc}2& 2& 0\\ 0& 2& 0\\ 2& 0& 4\end{array}\mid =4\mid \begin{array}{cc}2& 2\\ 0& 2\end{array}\mid =16\mathrm{\ne }0$

Calculamos primero el segundo miembro:

$A^2=\left(\begin{array}{ccc}2& 2& 0\\ 0& 2& 0\\ 2& 0& 4\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}2& 2& 0\\ 0& 2& 0\\ 2& 0& 4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}4& 8& 0\\ 0& 4& 0\\ 12& 4& 16\end{array}\right)$

${\displaystyle \frac{1}{4}}{A}^2-B=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 0\\ 0& 1& 0\\ 3& 1& 4\end{array}\right)-\left(\begin{array}{ccc}-3& 4& -6\\ -2& 1& -2\\ -11& 3& -8\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}4& -2& 6\\ 2& 0& 2\\ 14& -2& 12\end{array}\right)$

En lugar de invertir $A$, resolvemos $AX=M$ columna a columna: si $(x,y,z)$ es una columna de $X$ y $(m_1,m_2,m_3)$ la correspondiente de $M$, el sistema es escalonado y se despeja de arriba abajo.

$\{\begin{array}{l}2x+2y=m_1\\ 2y=m_2\\ 2x+4z=m_3\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}y={\displaystyle \frac{m_2}{2}}\\ x={\displaystyle \frac{m_1-m_2}{2}}\\ z={\displaystyle \frac{m_3-m_1+m_2}{4}}\end{array}$

Aplicándolo a las tres columnas de $M$:

$X=\left(\begin{array}{ccc}1& -1& 2\\ 1& 0& 1\\ 3& 0& 2\end{array}\right)$

Se comprueba sustituyendo en la ecuación de partida, que se cumple exactamente.



La matriz de coeficientes es

$A-\alpha I=\left(\begin{array}{ccc}2-\alpha & 2& 0\\ 0& 2-\alpha & 0\\ 2& 0& 4-\alpha \end{array}\right)$

Su determinante se desarrolla cómodamente por la segunda fila, que solo tiene un elemento no nulo:

$\mathrm{\mid }A-\alpha I\mathrm{\mid }=(2-\alpha )\mid \begin{array}{cc}2-\alpha & 0\\ 2& 4-\alpha \end{array}\mid =(2-\alpha {)}^2(4-\alpha )$

$\mathrm{\mid }A-\alpha I\mathrm{\mid }=0\Rightarrow \{\begin{array}{l}\alpha =2\\ \alpha =4\end{array}$

Si $\alpha \mathrm{\ne }2$ y $\alpha \mathrm{\ne }4$, el determinante no se anula y el sistema es compatible determinado.

Para $\alpha =2$ la matriz ampliada es

$\left(\begin{array}{cccc}0& 2& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\\ 2& 0& 2& 1\end{array}\right)$

La segunda fila es nula, y las otras dos son claramente independientes, así que

$\mathrm{ran}(A-2I)=\mathrm{ran}(\text{ampliada})=2<3=\text{n}\acute{\text{u}}\text{mero de inc}\acute{\text{o}}\text{gnitas}$

y el sistema es compatible indeterminado, con un grado de libertad.

Para $\alpha =4$ la matriz ampliada es

$\left(\begin{array}{cccc}-2& 2& 0& 0\\ 0& -2& 0& 0\\ 2& 0& 0& 1\end{array}\right)$

La tercera columna es nula, luego $\mathrm{ran}(A-4I)=2$. En cambio, en la ampliada:

$\mid \begin{array}{ccc}-2& 2& 0\\ 0& -2& 0\\ 2& 0& 1\end{array}\mid =1\cdot \mid \begin{array}{cc}-2& 2\\ 0& -2\end{array}\mid =4\mathrm{\ne }0\Rightarrow \mathrm{ran}(\text{ampliada})=3$

Los rangos no coinciden y el sistema es incompatible. Se ve también directamente: con $\alpha =4$ la incógnita $z$ desaparece de las tres ecuaciones y las dos primeras obligan a $x=y=0$, que la tercera contradice.

En resumen: compatible determinado si $\alpha \mathrm{\ne }2$ y $\alpha \mathrm{\ne }4$, compatible indeterminado si $\alpha =2$ e incompatible si $\alpha =4$.



Vamos sacando factores comunes y deshaciendo las combinaciones lineales hasta llegar al determinante dado. La segunda fila tiene el factor $2$ en los tres elementos:

$\mid \begin{array}{ccc}g-5a& 2d& a\\ 2h-10b& 4e& 2b\\ i-5c& 2f& c\end{array}\mid =2\mid \begin{array}{ccc}g-5a& 2d& a\\ h-5b& 2e& b\\ i-5c& 2f& c\end{array}\mid$

Y ahora la segunda columna tiene el factor $2$:

$=4\mid \begin{array}{ccc}g-5a& d& a\\ h-5b& e& b\\ i-5c& f& c\end{array}\mid$

Sumar a una columna un múltiplo de otra no cambia el determinante, así que hacemos $C_1\to C_1+5C_3$:

$=4\mid \begin{array}{ccc}g& d& a\\ h& e& b\\ i& f& c\end{array}\mid$

Intercambiando la primera y la tercera columnas —lo que cambia el signo— aparece la traspuesta del determinante del enunciado, que vale lo mismo que él:

$=-4\mid \begin{array}{ccc}a& d& g\\ b& e& h\\ c& f& i\end{array}\mid =-4\mid \begin{array}{ccc}a& b& c\\ d& e& f\\ g& h& i\end{array}\mid =-4\cdot (-2)=8$

El determinante pedido vale $8$.