Ejercicio resuelto de Matrices · Matemáticas II · 2024

Dadas las matrices $A=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 1\\ 1& 1& 0\end{array}\right)$, $B=\left(\begin{array}{cc}0& 2\\ 1& 0\\ -1& 1\end{array}\right)$, $C=\left(\begin{array}{cc}1& -1\\ 0& 1\end{array}\right)$ y $D=\left(\begin{array}{cc}0& 3\\ 1& 3\end{array}\right)$, hallar la matriz $X$ tal que $AB+CX=D$. [2 puntos]

Antes de despejar conviene mirar los órdenes: $A$ es $2\times 3$ y $B$ es $3\times 2$, así que $AB$ es $2\times 2$, como $C$ y $D$; por tanto $X$ también es de orden $2\times 2$.

$AB=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 1\\ 1& 1& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}0& 2\\ 1& 0\\ -1& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}-1& 3\\ 1& 2\end{array}\right)$

Pasamos $AB$ al otro miembro:

$CX=D-AB=\left(\begin{array}{cc}0& 3\\ 1& 3\end{array}\right)-\left(\begin{array}{cc}-1& 3\\ 1& 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)=I$

La resta ha dado justamente la identidad, de modo que $X$ no es otra cosa que la inversa de $C$. Comprobamos primero que existe:

$\mathrm{\mid }C\mathrm{\mid }=\mid \begin{array}{cc}1& -1\\ 0& 1\end{array}\mid =1\mathrm{\ne }0$

$CX=I\Rightarrow X=C^{-1}={\displaystyle \frac{1}{\mathrm{\mid }C\mathrm{\mid }}}\mathrm{Adj}\left(C^t\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right)$

Se comprueba sustituyendo en la ecuación de partida:

$AB+CX=\left(\begin{array}{cc}-1& 3\\ 1& 2\end{array}\right)+\left(\begin{array}{cc}1& -1\\ 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}-1& 3\\ 1& 2\end{array}\right)+\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}0& 3\\ 1& 3\end{array}\right)=D$

La matriz buscada es $X=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right)$.