Ejercicio resuelto de Matrices · Matemáticas II · 2025

Se consideran las matrices $A=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ -1& -1\end{array}\right)$, $B=\left(\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right)$, $N=\left(\begin{array}{cc}2& 2\\ 2& 1\end{array}\right)$ y $C=\left(\begin{array}{cc}2& -2\\ -2& 2\\ 4& 4\end{array}\right)$.

a) Calcular la matriz $M=A^{t}A-B{B}^t$, donde $A^t$ y $B^t$ representan las matrices transpuestas de $A$ y $B$, respectivamente. [1 punto]

b) Hallar la matriz $X$ que cumple la igualdad $XN=C$. [1,5 puntos]

Conviene mirar primero los tamaños: $A^{t}A$ es $2\times 2$ y $B{B}^t$ también, al multiplicar una columna por una fila, de modo que la resta tiene sentido.

$A^{t}A=\left(\begin{array}{cc}1& -1\\ 1& -1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ -1& -1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}2& 2\\ 2& 2\end{array}\right)$

$B{B}^t=\left(\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}0& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$

$M=\left(\begin{array}{cc}2& 2\\ 2& 2\end{array}\right)-\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}2& 2\\ 2& 1\end{array}\right)$

La matriz pedida es $M=\left(\begin{array}{cc}2& 2\\ 2& 1\end{array}\right)$, que resulta ser precisamente la matriz $N$ del enunciado.



En esta ecuación $N$ multiplica a $X$ por la derecha, así que hay que multiplicar por $N^{-1}$ también por la derecha. Además, como $C$ es $3\times 2$ y $N$ es $2\times 2$, la incógnita $X$ es de orden $3\times 2$.

$\mathrm{\mid }N\mathrm{\mid }=\mid \begin{array}{cc}2& 2\\ 2& 1\end{array}\mid =2-4=-2\mathrm{\ne }0$

$XN{N}^{-1}=C{N}^{-1}\Rightarrow X=C{N}^{-1}$

$N^{-1}={\displaystyle \frac{1}{\mathrm{\mid }N\mathrm{\mid }}}\mathrm{Adj}\left(N^t\right)=-{\displaystyle \frac{1}{2}}\left(\begin{array}{cc}1& -2\\ -2& 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}-{\displaystyle \frac{1}{2}}& 1\\ 1& -1\end{array}\right)$

$X=\left(\begin{array}{cc}2& -2\\ -2& 2\\ 4& 4\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}-{\displaystyle \frac{1}{2}}& 1\\ 1& -1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}-3& 4\\ 3& -4\\ 2& 0\end{array}\right)$

Comprobamos el resultado multiplicando por $N$:

$XN=\left(\begin{array}{cc}-3& 4\\ 3& -4\\ 2& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}2& 2\\ 2& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}2& -2\\ -2& 2\\ 4& 4\end{array}\right)=C$

La matriz buscada es $X=\left(\begin{array}{cc}-3& 4\\ 3& -4\\ 2& 0\end{array}\right)$.