Ejercicio resuelto de Matrices · Matemáticas II · 2024

Sean $a\in \mathbb{R}$ y $M=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 2\\ a& 1& 0\\ 1& 1& a\end{array}\right)$.

a) Calcular el determinante y el rango de $M$ para cada valor $a\in \mathbb{R}$. [1 punto]

b) Para $a=0$, calcular el determinante de la matriz $P$ cuando $2PM=M^3$. [1 punto]

Desarrollamos el determinante por la primera fila.

$\mathrm{\mid }M\mathrm{\mid }=1\mid \begin{array}{cc}1& 0\\ 1& a\end{array}\mid -1\mid \begin{array}{cc}a& 0\\ 1& a\end{array}\mid +2\mid \begin{array}{cc}a& 1\\ 1& 1\end{array}\mid$

$\mathrm{\mid }M\mathrm{\mid }=a-a^2+2(a-1)=-a^2+3a-2$

$\mathrm{\mid }M\mathrm{\mid }=0\Rightarrow (a-1)(a-2)=0\Rightarrow \{\begin{array}{l}a=1\\ a=2\end{array}$

Si $a\mathrm{\ne }1$ y $a\mathrm{\ne }2$, el determinante no se anula y $\mathrm{ran}(M)=3$.

Si $a=1$, la matriz tiene sus dos primeras columnas iguales:

$M=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 2\\ 1& 1& 0\\ 1& 1& 1\end{array}\right)\mid \begin{array}{cc}1& 2\\ 1& 0\end{array}\mid =-2\mathrm{\ne }0\Rightarrow \mathrm{ran}(M)=2$

Si $a=2$, la primera y la tercera filas son iguales:

$M=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 2\\ 2& 1& 0\\ 1& 1& 2\end{array}\right)\mid \begin{array}{cc}1& 1\\ 2& 1\end{array}\mid =-1\mathrm{\ne }0\Rightarrow \mathrm{ran}(M)=2$

En resumen: $\mathrm{\mid }M\mathrm{\mid }=-a^2+3a-2$; el rango vale $3$ salvo para $a=1$ y $a=2$, donde vale $2$.



No hace falta calcular $P$: basta tomar determinantes en los dos miembros y usar que el determinante de un producto es el producto de los determinantes. Conviene recordar que multiplicar una matriz de orden $3$ por un número multiplica su determinante por el cubo de ese número.

$\mathrm{\mid }M{\mathrm{\mid }}_{a=0}=-0+0-2=-2$

$\mathrm{\mid }2PM\mathrm{\mid }=\mid M^3\mid \Rightarrow 2^3\mathrm{\mid }P\mathrm{\mid }\mathrm{\mid }M\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }M{\mathrm{\mid }}^3$

$8\mathrm{\mid }P\mathrm{\mid }(-2)=(-2{)}^3\Rightarrow -16\mathrm{\mid }P\mathrm{\mid }=-8$

$\mathrm{\mid }P\mathrm{\mid }={\displaystyle \frac{1}{2}}$

El determinante de la matriz $P$ vale ${\displaystyle \frac{1}{2}}$.