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Examen de Matemáticas II de Navarra 2020 (convocatoria extraordinaria)

Ejercicios del examen de selectividad de Matemáticas II de Navarra, convocatoria extraordinaria de 2020. Aquí hay 8 ejercicios publicados, 8 con la solución desarrollada. El enunciado completo es el del PDF oficial.

Descargar el PDF oficial del examen

Ejercicio 1: Sistemas de ecuaciones

Estudie el siguiente sistema de ecuaciones lineales dependiente del parámetro real

a

y resuélvalo en los casos en que es compatible:

{\begin{cases} (a^{2} - 2) x + 2 y + z = a + 2 \\ (a^{2} - 2) x + 4 y + (a + 1) z = a + 6 \\ (a^{2} - 2) x + 2 y + (2 - a) z = a + \sqrt{2} \end{cases}

Mencione el resultado teórico empleado y justifique su uso. [2,5 puntos]

Ver la solución del ejercicio 1

Ejercicio 2: Rectas y Planos

El plano

π

pasa por los puntos

P_{1} (2, 0, 5)

P_{2} (1, - 2, 2)

P_{3} (3, - 1, 2)

. Una esfera con centro en

C (0, 1, - 3)

toca al plano en un único punto. Calcule el radio de la esfera y el punto de intersección. [2,5 puntos]

Ver la solución del ejercicio 2

Ejercicio 3: Integrales y Áreas

Calcule las integrales indefinidas:

\int \frac{x - 7}{x^{2} + x - 6} d x

[1,25 puntos]

\int e^{2 x} \sin (2 x + 1) d x

[1,25 puntos]

Ver la solución del ejercicio 3

Ejercicio 4: Derivadas

Sea la función

f (x) = {\begin{cases} \frac{1}{3} + \ln \frac{x^{2} + 2}{3} & x < 1 \\ \frac{x^{2}}{3} & x \geq 1 \end{cases}

.

a) Demuestre que la función es derivable en todo

R

. [1 punto]

b) Demuestre que existe un valor

α \in (0, 2)

tal que

f^{'} (α) = 1

. Enuncie el(los) resultado(s) teórico(s) utilizado(s) y justifique su uso. [1,5 puntos]

Ver la solución del ejercicio 4

Ejercicio 5: Matrices

Sabiendo que la inversa de una matriz

A

(\begin{array}{cc} 2 & - 1 \\ - 1 & 1 \end{array})

y la inversa de la matriz

A \cdot B

(\begin{array}{cc} - 6 & 1 \\ 1 & 0 \end{array})

, determine la matriz

B

. [2,5 puntos]

Ver la solución del ejercicio 5

Ejercicio 6: Rectas y Planos

Calcule la ecuación continua de la recta

t

sabiendo que corta perpendicularmente a las siguientes rectas:

r \equiv {\begin{cases} x + 2 y + z - 1 = 0 \\ x + 3 z - 7 = 0 \end{cases}

s \equiv \frac{x + 2}{2} = \frac{y}{1} = \frac{z + 3}{0}

[2,5 puntos]

Ver la solución del ejercicio 6

Ejercicio 7: Derivadas

Calcule los extremos absolutos de la función

f (x) = e^{π x} \cdot \sin (π x)

en el intervalo

[\frac{1}{2}, 2]

. Mencione el resultado teórico empleado y justifique su uso. [2,5 puntos]

Ver la solución del ejercicio 7

Ejercicio 8: Integrales y Áreas

Sean las funciones

f (x) = \frac{x}{2} + 1

g (x) = \sqrt{x - 2} + 2

. Encuentre los dos puntos en los que se cortan sus gráficas, y calcule el área de la región del plano encerrada entre ambas gráficas. [2,5 puntos]

Ver la solución del ejercicio 8