Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2020

Calcule la ecuación continua de la recta $t$ sabiendo que corta perpendicularmente a las siguientes rectas:

$r\equiv \{\begin{array}{l}x+2y+z-1=0\\ x+3z-7=0\end{array}$ y $s\equiv {\displaystyle \frac{x+2}{2}}={\displaystyle \frac{y}{1}}={\displaystyle \frac{z+3}{0}}$ [2,5 puntos]

Escribimos $r$ en paramétricas. Su director es el producto vectorial de las normales de los dos planos que la definen:

${\vec{v}}_r=\mid \begin{array}{ccc}\vec{i}& \vec{j}& \vec{k}\\ 1& 2& 1\\ 1& 0& 3\end{array}\mid =(6,-2,-2)\parallel (3,-1,-1)$

y un punto se obtiene con $z=0$:

$\{\begin{array}{l}x+2y-1=0\\ x-7=0\end{array}\Rightarrow x=7,y=-3$

$r:\{R(7,-3,0),{\vec{v}}_r=(3,-1,-1)\}$

De $s$ leemos $S(-2,0,-3)$ y ${\vec{v}}_s=(2,1,0)$.

Las dos rectas se cruzan, porque los directores no son proporcionales y el producto mixto no se anula:

$[{\vec{v}}_r,{\vec{v}}_s,\overrightarrow{RS}]=\mid \begin{array}{ccc}3& -1& -1\\ 2& 1& 0\\ -9& 3& -3\end{array}\mid =-30\mathrm{\ne }0$



i) El director de la perpendicular común es el producto vectorial de los dos:

${\vec{v}}_t={\vec{v}}_r\times {\vec{v}}_s=\mid \begin{array}{ccc}\vec{i}& \vec{j}& \vec{k}\\ 3& -1& -1\\ 2& 1& 0\end{array}\mid =(1,-2,5)$

ii) Buscamos los pies. Con los puntos genéricos

$P(7+3\lambda ,-3-\lambda ,-\lambda )\in rQ(-2+2\mu ,\mu ,-3)\in s$

$\overrightarrow{PQ}=(-9+2\mu -3\lambda ,3+\mu +\lambda ,-3+\lambda )$

imponemos que sea perpendicular a los dos directores:

$\overrightarrow{PQ}\cdot {\vec{v}}_r=3(-9+2\mu -3\lambda )-(3+\mu +\lambda )-(-3+\lambda )=-27+5\mu -11\lambda =0$

$\overrightarrow{PQ}\cdot {\vec{v}}_s=2(-9+2\mu -3\lambda )+(3+\mu +\lambda )=-15+5\mu -5\lambda =0$

De la segunda, $\mu =\lambda +3$; sustituyendo en la primera, $-27+5\lambda +15-11\lambda =0\Rightarrow -6\lambda =12\Rightarrow \lambda =-2$, y por tanto $\mu =1$.

iii) Sustituyendo cada parámetro en su recta:

$\lambda =-2\Rightarrow P(1,-1,2)\mu =1\Rightarrow Q(0,1,-3)$

$\overrightarrow{PQ}=(-1,2,-5)\parallel (1,-2,5)$, proporcional al director hallado, y

$\overrightarrow{PQ}\cdot {\vec{v}}_r=-3-2+5=0\overrightarrow{PQ}\cdot {\vec{v}}_s=-2+2+0=0$

La recta pedida, escrita por el punto $P$, es

$t\equiv {\displaystyle \frac{x-1}{1}}={\displaystyle \frac{y+1}{-2}}={\displaystyle \frac{z-2}{5}}$

Corta perpendicularmente a $r$ en $P(1,-1,2)$ y a $s$ en $Q(0,1,-3)$, y la distancia entre las dos rectas es $\mid \overrightarrow{PQ}\mid =\sqrt{30}$ unidades.