Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2026

Dado el plano $\pi \equiv x+y=0$, el punto $A(1,-1,0)$ y la recta $s\equiv x=y=z$, hallar la recta $r$, en su forma paramétrica, que pasa por $A$, está contenida en $\pi$ y corta a la recta $s$. [2,5 puntos]

La clave es que las tres condiciones no dejan ninguna libertad: si $r$ está contenida en $\pi$ y corta a $s$, el punto de corte pertenece a la vez a $s$ y a $\pi$. Basta, pues, con localizar $s\cap \pi$ y unirlo con $A$.

Empezamos comprobando que el punto dado está efectivamente en el plano, como exige el enunciado:

$A(1,-1,0)\in \pi :1+(-1)=0$

Escribimos $s$ en paramétricas y sustituimos en la ecuación del plano:

$s\equiv \{\begin{array}{l}x=t\\ y=t\\ z=t\end{array}t\in \mathbb{R}$

$t+t=0\Rightarrow 2t=0\Rightarrow t=0$

$s\cap \pi =\{O(0,0,0)\}$

La recta $s$ atraviesa el plano en un único punto, el origen, luego ese es obligatoriamente el punto en que $r$ corta a $s$.



La recta buscada es la que pasa por $A$ y por $O$, y su vector director es

${\vec{v}}_r=\overrightarrow{AO}=(0,0,0)-(1,-1,0)=(-1,1,0)$

$r\equiv \{\begin{array}{l}x=1-\lambda \\ y=-1+\lambda \\ z=0\end{array}\lambda \in \mathbb{R}$

Comprobamos las tres condiciones. Pasa por $A$ para $\lambda =0$; corta a $s$ en el origen, que se alcanza con $\lambda =1$; y está contenida en $\pi$, porque cualquiera de sus puntos lo cumple:

$x+y=(1-\lambda )+(-1+\lambda )=0$

La recta pedida es $r\equiv (1-\lambda ,-1+\lambda ,0)$, con $\lambda \in \mathbb{R}$, y es única. Obsérvese además que resulta ser perpendicular a $s$, ya que $(-1,1,0)\cdot (1,1,1)=0$.