Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2024

Hallar el punto simétrico del punto $P=(1,0,-1)$ respecto de la recta $r\equiv {\displaystyle \frac{x-1}{1}}={\displaystyle \frac{y}{2}}={\displaystyle \frac{z}{2}}$. [2 puntos]

El simétrico se obtiene en tres fases: i) se construye el plano que pasa por $P$ y es perpendicular a $r$; ii) se corta ese plano con la recta, lo que da el pie $M$ de la perpendicular; iii) se impone que $M$ sea el punto medio del segmento $\overline{P{P}^{\mathrm{\prime }}}$.



De la ecuación continua leemos un punto y el vector director de la recta:

$A(1,0,0){\vec{v}}_r=(1,2,2)$

i) El plano perpendicular a $r$ tiene por vector normal el director de la recta:

$\pi \equiv x+2y+2z+D=0$

$P(1,0,-1)\in \pi :1+0-2+D=0\Rightarrow D=1\Rightarrow \pi \equiv x+2y+2z+1=0$

ii) Escribimos $r$ en paramétricas y sustituimos en el plano:

$r\equiv (1+t,2t,2t)$

$(1+t)+2(2t)+2(2t)+1=0\Rightarrow 9t+2=0\Rightarrow t=-{\displaystyle \frac{2}{9}}$

$M=(1-{\displaystyle \frac{2}{9}},-{\displaystyle \frac{4}{9}},-{\displaystyle \frac{4}{9}})=({\displaystyle \frac{7}{9}},-{\displaystyle \frac{4}{9}},-{\displaystyle \frac{4}{9}})$

iii) Como $M$ es el punto medio de $P$ y $P^{\mathrm{\prime }}$, se despeja este último:

$P^{\mathrm{\prime }}=2M-P=({\displaystyle \frac{14}{9}}-1,-{\displaystyle \frac{8}{9}}-0,-{\displaystyle \frac{8}{9}}+1)$

$P^{\mathrm{\prime }}=({\displaystyle \frac{5}{9}},-{\displaystyle \frac{8}{9}},{\displaystyle \frac{1}{9}})$

El punto simétrico de $P$ respecto de la recta $r$ es $P^{\mathrm{\prime }}({\displaystyle \frac{5}{9}},-{\displaystyle \frac{8}{9}},{\displaystyle \frac{1}{9}})$.