Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2024

a) Determinar los valores del parámetro $k\in \mathbb{R}$ para los que las dos rectas

$r_1\equiv \{\begin{array}{l}x=1\\ y=kt\\ z=k-2t\end{array},t\in \mathbb{R}$ y $r_2\equiv \{\begin{array}{l}x+2y+2z=-1\\ x+y+z=k\end{array}$

son paralelas. [1 punto]

b) Para $k=2$, ¿existe algún plano que contenga a las rectas $r_1$ y $r_2$? En caso afirmativo calcular el plano o los planos que las contengan. [1 punto]

Dos rectas son paralelas cuando sus vectores directores son proporcionales, así que empezamos por obtener el de cada una.

De las paramétricas de $r_1$ se lee directamente:

$P_1(1,0,k){\vec{v}}_1=(0,k,-2)$

La recta $r_2$ viene dada como intersección de dos planos, de modo que su director es perpendicular a las dos normales:

${\vec{v}}_2=(1,2,2)\times (1,1,1)=\mid \begin{array}{ccc}\vec{i}& \vec{j}& \vec{k}\\ 1& 2& 2\\ 1& 1& 1\end{array}\mid =(0,1,-1)$

Imponemos la proporcionalidad ${\vec{v}}_1=\lambda {\vec{v}}_2$:

${\displaystyle \frac{k}{1}}={\displaystyle \frac{-2}{-1}}=2\Rightarrow k=2$

Comprobamos además que para ese valor las rectas no coinciden: el punto $P_1(1,0,2)$ no cumple la primera ecuación de $r_2$, ya que $1+0+4=5\mathrm{\ne }-1$.

Las rectas son paralelas —y distintas— únicamente para $k=2$.



Sí existe, y además es único: dos rectas paralelas y distintas determinan siempre un plano y solo uno, el que pasa por una de ellas y por cualquier punto de la otra.



Necesitamos un punto de $r_2$. Resolvemos su sistema con $k=2$ dando un valor a una incógnita:

$\{\begin{array}{l}x+2y+2z=-1\\ x+y+z=2\end{array}\text{restando}y+z=-3$

Tomando $z=0$ resulta $y=-3$ y $x=2-(-3)=5$, es decir, $B(5,-3,0)$.

El plano queda determinado por el punto $P_1(1,0,2)$ y los vectores ${\vec{v}}_2$ y $\overrightarrow{P_{1}B}$:

$\overrightarrow{P_{1}B}=(5,-3,0)-(1,0,2)=(4,-3,-2)$

$\vec{n}={\vec{v}}_2\times \overrightarrow{P_{1}B}=\mid \begin{array}{ccc}\vec{i}& \vec{j}& \vec{k}\\ 0& 1& -1\\ 4& -3& -2\end{array}\mid =(-5,-4,-4)$

Cambiando el signo, $\vec{n}=(5,4,4)$, y el plano es

$\pi \equiv 5x+4y+4z+D=0$

$P_1(1,0,2)\in \pi :5+0+8+D=0\Rightarrow D=-13$

$\pi \equiv 5x+4y+4z-13=0$

Se comprueba con un punto más de cada recta: $(1,2,0)$ de $r_1$ da $5+8-13=0$ y $(5,-4,1)$ de $r_2$ da $25-16+4-13=0$.

El único plano que contiene a las dos rectas es $\pi \equiv 5x+4y+4z-13=0$.